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核心考点·精准研析
考点一 三角函数的定义域、值域(最值)
1.函数y=
的定义域为________.
-3cos x的最小值为________.
2.(2024·全国卷Ⅰ)函数f(x)=sin3.函数f(x)=1-3sin
的值域为________.
【解析】1.要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象.在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x为,
,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以原函数的定义域为
.
答案:2.f(x)=sin
=-2cos2x-3cos x+1=-2
-3cos x=-cos 2x-3cos x
+,
因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,f(x)min=-4, 故函数f(x)的最小值为-4. 答案:-4
- 1 -
3.因为-1≤sin所以-2≤1-3sin所以函数f(x)=1-3sin答案:[-2,4]
≤1,所以-3≤-3sin≤4,
的值域为[-2,4].
≤3,
1.求三角函数的定义域的实质
解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数的图象求解. 2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型
(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式,再求值域(最值).
(2)形如y=asin2x+bsin x+c的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数求值域(最值).
(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c的三角函数,可先设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数求值域(最值). 【秒杀绝招】
图象性质解T1,sin x-cos x=
sin
≥0,将x-视为一个整体,由正弦函
数y=sin x的图象与性质知2kπ≤x-≤π+2kπ(k∈Z),解得2kπ+≤x≤2kπ+
(k∈Z).
.
- 2 -
所以定义域为
特殊值法解T2,易知f(x)≥-4,又x=0时,f(x)=-4,所以f(x)的最小值为-4. 考点二 三角函数的单调性
【典例】1.(2024·全国卷Ⅱ)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]上是减函数,则a的最大值是 ( )
A. B. C.2.函数f(x)=sin【解题导思】 序号 1 式,[0,a]是某个减区间的子集 看到“f(x)=sin2 f(x)=-sin ”想到运用诱导公式转化为联想解题 看到“f(x)=cos x-sin x在[0,a]上是减函数”想到化简f(x)解析 D.π
的单调递减区间为________.
【解析】1.选C.f(x)=cos x-sin x=所以[0,a]?2.f(x)=-sin增区间.
,故0 . cos在上单调递减, ,欲求f(x)单调递减区间,只需求y=sin的单调递 由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+调递减区间为 (k∈Z).所以f(x)的单 (k∈Z). - 3 - 答案: (k∈Z) 若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]上是减函数,则a的最大值是 ( ) A. B. C.【解析】选A.f(x)=cos x-sin x=[-a,a]? 1.求三角函数单调区间的方法 首先化简成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间,只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sin x的相应单调区间内即可. 2.已知单调区间求参数的三种方法 求出原函数的相应单调区间,由已知区间是该区间的子集,列不等式子集法 (组)求解 求补 集法 周期 性法 由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解 由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解 1.设函数f(x)=sin ,x∈ ,则以下结论正确的是 ( ) ,故-a≥-且a≤ D.π cos 在 上单调递减,所以 ,解得0 - 4 - A.函数f(x)在B.函数f(x)在C.函数f(x)在D.函数f(x)在【解析】选C.由x∈由x∈ 上单调递减 上单调递增 上单调递减 上单调递增 得2x-∈, ,所以f(x)先减后增; 得2x-∈ 所以f(x)先增后减; 由x∈ 得2x-∈ , 所以f(x)单调递减; 由x∈ 得2x-∈ ,所以f(x)先减后增. 上单调递增,在区间 上单调递 2.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间减,则ω=________. 【解析】因为f(x)=sin ωx(ω>0)过原点, 所以当0≤ωx≤,即0≤x≤y=sin ωx是增函数; 当≤ωx≤由已知 时, ,即≤x≤时,y=sin ωx是减函数. =,所以ω=. - 5 -
2024版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心考点·精准研析 4.4
