当x=b时，y的最大值为b2﹣2b=3b，∴b=0（舍去）或b=5
此时a=b=5，与1≤a＜b矛盾，故a的范围为：﹣≤a＜﹣故答案为：﹣≤a＜﹣
【点评】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的图象是解题的关键是，本题属于中等题型．
三、解答题（共8小题，共72分）17．
【考点】86：解一元一次方程．
【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得答案．【解答】解：去括号，得4x﹣8﹣1=3x﹣3，移项，得4x﹣3x=﹣3+8+1，合并同类项，得x=6．
【点评】本题考查了解一元一次方程，移项是解题关键，注意移项要变号．
18．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】欲证明∠B=∠C，只要证明△ABE≌△DCF（SAS）即可．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF，
∴∠B=∠C．
【点评】本题科学平行线的性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，所以基础题．
19．
【考点】V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图．
【分析】（1）根据6000﹣7000的人数是600，所占的百分比是30%，即可求得总数，然后利用1减去其它组的百分比即可求得m的值，利用百分比的意义求得n的值，利用360°乘以对应的百分比求得认为“理想房价”在5000～6000的扇形的圆心角；
（2）根据两种促销方案分别求得促销后的价格，然后与4000进行比较即可．【解答】解：（1）该机构调查的总人数是：600÷30%=2000（人），m=1﹣30%﹣18%﹣7%﹣3%=42%，
认为“理想房价”在6000～7000范围内的人数n=2000×7%=140（人），认为“理想房价”在5000～6000的扇形的圆心角是360°×18%=64.8°；（2）①4800×0.9×（1﹣4%）=4147.2＞4000；②4800×（1﹣9%）﹣400=3968＜4000．则方式②能让“实际单价”降到4000元以下．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．
【考点】9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可．
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，根据
不等关系：①购买A、B两种商品的总件数不少于32件，②购买的A、B两种商品的总费用不超过296元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可．
【解答】解：（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，由题意得：
，
解得
．
答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，由题意得：
，
解得：12≤m≤13，∵m是整数，∴m=12或13，故有如下两种方案：
方案（1）：m=12，2m﹣4=20即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；
方案（2）：m=13，2m﹣4=22即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．
【点评】此题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程或不等式解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．
21．
【考点】M5：圆周角定理；S9：相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）作辅助线，构建全等三角形，证明△ACD≌△BGD（SAS），得AC=BG，可得结论，也可以将△DAC绕点D逆时针旋转90°得到△DBG，可以证明；（2）设OE=x，则OD=OB=2x，DB=2论．
x，证明△DBG∽△BEC，列比例式可得结
【解答】（1）证明：连接AD、AC、BD，过D作DG⊥CD，交CB的延长线于G，∵AB为⊙O的直径，∴OA=OB=OD，∵OD⊥AB，
∴AD=BD，∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠BCD，Rt△CDG中，∠G=45°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA=45°=∠G，∴CD=DG，CG=
CD，
∵∠ADB=∠CDG=90°，
∴∠ADC+∠CDB=∠BDG+∠CDB，∴∠ADC=∠BDG，在△ACD和△BGD中，∵
，
∴△ACD≌△BGD（SAS），∴AC=BG，
∴CG=BC+BG=AC+BC=
CD；
（2）解：∵E为AO的中点，∴AE=OE，
设OE=x，则OD=OB=2x，DB=2∴BE=CE+OB=3x，∵∠ABC=∠ADC=∠BDG，∠BCE=∠G=45°，∴△DBG∽△BEC，∴
=
=
，
x，
∵DG=DC，
∴．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题．
22．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由k=1得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先由k=2得到直线和双曲线的解析式，组成方程组，求出方程组的解，即可得到A、B两点的坐标；再求出直线AB的解析式，得到直线AB与y轴的交点（0，2），利用三角形的面积公式，即可解答．
（3）根据当k=1时，S1=×1×（1+2）=，当k=2时，S2=×2×（1+3）=4，…得到当k=n时，Sn=n（1+n+1）=n2+n，根据若S1+S2+…+Sn=即可解答．
【解答】解：（1）当k=1时，直线y=x+k和双曲线y=解
得
，
，
化为：y=x+1和y=，
，列出等式，
∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），
（2）当k=2时，直线y=x+k和双曲线y=
化为：y=x+2和y=，
2024中考数学必刷题 (371)
