www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第1章函数与极限1.1复习笔记一、映射与函数1．函数（1）函数的性质（见表1-1）表1-1函数的性质（2）反函数与复合函数①反函数的特点a．函数f和反函数f－1的单调性一致。b．f的图像和f－1的图像关于直线y＝x对称。②复合函数g与f能构成复合函数f°g的条件是：f的定义域与g的值域的交集不能为空集。（3）函数的运算设函数f（x），g（x）的定义域为Df，Dg，且定义域有交集为D，则可定义这两个函1/160www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台数的下列运算和（差）f±g：（f±g）（x）＝f（x）±g（x），x∈D。积f·g：（f·g）（x）＝f（x）·g（x），x∈D。商f/g：（f/g）（x）＝f（x）/g（x），x∈D\\{x|g（x）＝0，x∈D}。（4）初等函数5类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。二、数列的极限1．数列极限的定义xn?a??ε＞0，?正整数N，当n＞N时，有|xn－a|＜ε。数列{xn}收敛于a?limn??xn不存在。数列{xn}是发散?limn??2．收敛数列的性质（1）唯一性如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。（2）有界性如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。①有界数列：存在正数M，使得对于一切xn都满足不等式|xn|≤M。②无界数列：不存在正数M，使得对于一切xn都满足不等式|xn|≤M。（3）保号性xn?a，且a＞0（或a＜0）如果lim，则存在正整数N＞0，当n＞N时，都有xn＞0n??（或xn＜0）。2/160www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台xn?a，则a≥0（或a≤0）推论：如果数列{xn}从某项起有xn≥0（或xn≤0）且lim。n??（4）收敛数列与其子数列间的关系①如果数列{xn}收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。③一个发散的数列也可能有收敛的子数列。三、函数的极限1．函数极限的定义（1）函数f（x）极限的两种情形①自变量x趋于有限值x0时函数的极限lim?f?x?及lim?f?x?都存在并且相等时，x→x时极限存在。只有x0?x0x?x0
②自变量x趋于无穷大时函数的极限x?x0
limf?x??A??ε＞0，?δ＞0，当|x|＞X时，有|f（x）－A|＜ε。2．函数极限的性质（1）唯一性limf?x?存在，则这极限唯一。如果x
?x
0
（2）局部有界性limf?x??A，则存在常数M＞0和δ＞0，使得当0＜|x－x0|＜δ时，有|f（x）|如果x?x
0
≤M。（3）局部保号性limf?x??A，且A＞0（或A＜0）①如果x，则存在常数δ＞0，使得当0＜|x－x0|＜δ?x
0
3/160www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台°
°
时，有f（x）＞0（或f（x）＜0）。②如果limf?x??A?A?0?，则存在着x0的某一去心邻域U（x0），当x∈U（x0）时，x?x0
有|f（x）|＞|A|/2。limf?x??A，则A≥0③如果在x0的某去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且x
?x
0
（或A≤0）。（4）函数极限与数列极限的关系limf?x?存在，{xn}为函数f（x）的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足：如果极限x
?x
0
f?xn??limf?x?。xn≠x0（n∈N＋），则相应的函数值数列{f（xn）}必收敛，且limn??x?x
0
四、无穷小与无穷大1．无穷小limf?x??0，称f（x）是x→x0时的无穷小量。若x
?x
0
2．无穷大（1）定义limf?x???，称f（x）是x→x0时的无穷大量。若x?x
0
（2）渐近线设曲线y＝f（x）①斜渐近线y＝kx＋bk?lim
x??
f?x?xb?lim??f?x??kx??x??4/160www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台特别地，当k＝0时，曲线有水平渐近线y＝b。②垂直渐近线limf?x???（或者左、右极限趋于无穷）若x，则垂直渐近线为x＝x0。?x
0
3．无穷大与无穷小之间的关系在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，则1/f（x）为无穷小；反之，如果f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则1/f（x）为无穷大。五、极限运算法则1．极限运算法则相关定理（1）定理1两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小之和也是无穷小。（2）定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小。①推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小。②推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小。（3）定理3如果limf（x）＝A，limg（x）＝B，则①lim[f（x）±g（x）]＝limf（x）±limg（x）＝A±B；②lim[f（x）·g（x）]＝limf（x）·limg（x）＝A·B；③若又有B≠0，则lim（f（x）/g（x））＝limf（x）/limg（x）＝A/Ba．推论1：如果limf（x）存在，而c为常数，则lim[cf（x）]＝climf（x）；5/160
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(1-2章)(圣才出品)
