2018全国高考新课标1卷理科数学试题(卷)(解析版)

. 2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1-i

1．设z=+2i，则|z|=

1+i

1

A．0 B． C．1 D．2

21-i

解析：选C z=+2i=-i+2i=i

1+i

2．已知集合A={x|x2-x-2>0}，则?RA =

A．{x|-12} D．{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 解析：选B A={x|x<-1或x>2}

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析：选A

4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5= A．-12 B．-10 C．10 D．12 解析：选 ∵3(3a1+3d)=(2a1+d )+(4a1+6d) a1=2 ∴d=-3 a5=-10

5．设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 A．y=-2x B．y=-x C．y=2x D．y=x

解析：选D ∵f(x)为奇函数 ∴a=1 ∴f(x)=x3+x f′(x)=3x2+1 f′(0)=1 故选D →= 6．在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB

1 / 8

. 3→1→A．AB - AC

44

1→3→

B． AB - AC

44

3→1→

C．AB + AC

44

1→3→

D． AB + AC

44

1→→1→1→1→1→→3→1→→解析：选A 结合图形，EB=- (BA+BD)=- BA-BC=- BA-(AC-AB)=AB - AC

2242444

7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面

上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

A．217

B．25

C．3

D．2

解析：选B 所求最短路径即四份之一圆柱侧面展开图对角线的长

2→·FN→= 8．设抛物线C：y=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM

3

2

A．5 B．6 C．7 D．8

2→=(0,2),FN→=(3,4) 解析：选D F(1,0)，MN方程为y= (x+2),代入抛物线方程解得交点M(1,2),N(4,4),则FM3→·FN→=8 ∴FM

?e， x≤09．已知函数f(x)= ?，g(x)=f(x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

lnx，x>0?

x

A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）

解析：选C g(x)=0即f(x)=-x-a，即y=f(x)图象与直线y=-x-a有2个交点，结合y=f(x)图象可知-a<1

10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则

A．p1=p2 C．p2=p3

B．p1=p3 D．p1=p2+p3

13115

解析：选A ∵AC=3，AB=4，∴BC=5，∴AC=，AB=2 , BC=

22222

13125

∴以AC和AB为直径的两个半圆面积之和为×π×()2+×π×22=π

2228

2 / 8

. 15125∴以BC为直径的半圆面积与三角形ABC的面积之差为×π×()2- ×3×4=π-6；

22282525

∴两个月牙形（图中阴影部分）的面积之和等于π-(π-6)=6=ΔABC面积

88∴p1=p2

x2

11．已知双曲线C： - y2 =1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别

3为M、N.若ΔOMN为直角三角形，则|MN|= 3A． 2

B．3

C．23

D．4

解析：选B 依题F(2,0),曲线C的渐近线为y=±33M(,- ),N(3, 22

3

x,MN的斜率为3，方程为y=3(x-2),联立方程组解得3

3),∴|MN|=3

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 33A．

4

23B．

3

32C．

4

D．

3 2解析：选A 如图正六边形与正方体每条棱缩成角相等。当正六边形过正方体棱的中点时，面积最大

232233

此时正六边形的边长为，其面积为6××()= 2424

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 x-2y-2≤0 ??

13．若x，y满足约束条件?x-y+1≥0 ， 则z=3z+2y的最大值为_____________．

?? y≤0

解析：答案为6

14．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn=2an+1，则S6=_____________． 解析：a1=-1，n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1，an=-2n-1，S6=2a6+1=-64+1=-63 15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

解析：合条件的选法有C63-C43=16

16．已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是_____________．

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. 解析：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的最小值。 ∵ f′（x）=2cosx+2cos2x =2cosx+2(2cos2x-1)=2(2cosx-1)(cosx+1)， 1π5π令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=-1， 可得此时x=，π或； 233π5π∴y=2sinx+sin2x的最大值和最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到， 33π335π3333计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=-，f（0）=0， ∴函数的最小值为- 32322三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分）

在平面四边形ABCD中，∠ADC=900，∠A=450，AB=2，BD=5. （1）求cos∠ADB； （2）若DC=22，求BC.

BDAB2

解：（1）在ΔABD中，由正弦定理得=.由题设知，sin∠ADB=. sinAsin∠ADB5

23

. 5

由题设知，∠ADB <900，所以cos∠ADB =

2

（2）由题设及（1）知，cos∠BDC= sin∠ADB=.

5

在ΔBCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠BDC=25 所以BC=5. 18．（12分）

如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把ΔDFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF. 又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.

→的方向为y轴正方向，|BF→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz. 以H为坐标原点，HF

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. 由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=3.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF. 可得PH=

33→=(1, 3,3), ),D(-1,- ,0 ), DP2222

33

,EH=. 22

则H(0,0,0),P(0,0,

→=(0,0, HP

3

)为平面ABFD的法向量. 2

→·HP→DP3

设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ=||=.

→→4| DP|·|HP|3

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为. 419．（12分）

x2

设椭圆C: + y2 =1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0).

2（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB. 解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1. 由已知可得，点A的坐标为(1,

22

)或(1,- ). 22

22

所以AM的方程为y= - x+2或y= x-2.

22

（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB =00.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)， y1y2

则x1<2,x2<2，直线MA，MB的斜率之和为kMA+kMB=+. x1-2x2-2

2kx1x2-3k(x1+x2)+4k

(x1-2)( x2-2)由y1=kx1-k, y2=kx2-k得kMA+kMB=

x24k22k2-222222

将y=k(x-1)代入 + y =1得(2k+1)x-4kx+2k-2=0 所以，x1+x2=2, x1x2=2.

2 2k+1 2k+14k3-4k-12k3+8k3+4k

则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k ==0

2k2+1

从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以∠OMA=∠OMB. 综上，∠OMA=∠OMB. 20．（12分）

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