正方形角含半角模型提升
例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，使AD?2，求AG．
例2 ．如图，P为正方形ABCD内一点，PA?PB?10，并且P点到CD边的距离也等于10，求正方形ABCD的面积 例3. 如图，?垂足为M，CD上的一点，E、F分别为正方形ABCD的边BC、AM?EF，AM?AB，则有EF?BE?DF，为什么
例4. 如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使?EAF?45o，AG?EF于G. 求证：AG?AB
例5.(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点
O,?AOF?90?.
求证：BE?CF.
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点
O,?FOH?90?,EF?4.求GH的长.
【双基训练】
1. 如图6，点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，?其边长分别为3cm和5cm，则?CDE的面积为________cm2．
(6) (7) 图2
2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．?如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，?那么正方形⑤的面积为________．
3.如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点．AF、CE相交于G，并且?ABF的面积为14平方厘米，?BCE的面积为5平方厘米，?那么四边形BEGF的面积是________．
4. 如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB?2BC。分别以
AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN， EC。
求证：FN?EC。
5.如图 ，ABCD是正方形．G是BC上的一点，DE?AG于 E，BF?AG于 F． （1）求证：△ABF≌△DAE；
A D （2）求证：DE?EF?FB．
【纵向应用】
E 16. 在正方形ABCD中，?1??2．求证：OF?BE F
21C B 7. 在正方形ABCD中，?1??2．AE?DF,求证：OG?CE G 28. 如图13，点E为正方形ABCD对角线BD上一点, EF?BC, EG?CD 求证：AE?FG
A D
E
G
9.已知：点E、F分别正方形ABCD中AB和BC的中点，连接AF和DE相交于点G,
B 13
F
C
GH?AD于点H.
（1）求证：AF?DE ；
（2）如果AB?2,求GH的长； （3）求证：CG?CD
例1. 已知：如图，P是正方形ABCD内点，?PAD??PDA?15?． 求证：?PBC是正三角形．
例2. 如图，分别以?ABC的AC和BC为一边，在?ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点． 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半． 例4. 如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE?AC，AE与CD相交于F． E 求证：CE?CF．
D 例6. 设P是正方形ABCD一边BCA 上的任一点，PF?AP，CF平分
F E ?DCE．
求证：PA?PF． A D D B C F 例7. 已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA?PB?PC的最小值． A D D P G C B A P Q B C F
A D 例8. P为正方形ABCD内的一点，并且PA?a，PB?2a，PC?3a，求正方形的B P C E 边长．
A 【双基训练】
1.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________． 2.如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?恰是一个菱形，?则?EAB=________． 【纵向应用】 3.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BCB 的中点，?AEF?90?，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）证明：?BAE??FEC； （2）证明：?AGE??ECF； （3）求?AEF的面积． 【横向拓展】
B P P D C C 4.如图，四边形ABCD是正方形，?ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60?得到BN，连接EN、AM、CM. ⑴ 求证：?AMB??ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM?CM的值最小；
②当M点在何处时，AM?BM?CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM?BM?CM的最小值为3?1时，求正方形的边长.
A D
N E M B C
2024年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案
