二维定常不可压缩 N-S 方程无量纲分析
一、引言
计算流体力学的控制方程通常认为是 N-S（Navier-Strokes） 方程组，包含了 能量方程、动量方程、连续性方程等方程组的总称。当考虑流体的黏性时，作 用在流体质点上的力除了质量力、法向应力（垂直于作用面的压力）外，还有 与作用面相切的切向力， N-S 方程建立了流体微团的动量变化率与作用在微团 上的惯性力， 压力以及粘性剪切力之间的关系， 反映了黏性流体运动的基本规 律，对计算流体力学有着十分重要的意义。
本文旨在对二维定常不可压缩 N-S 方程进行无量纲化，方便简化计算和 分析相似实验。 量纲分析就是对有量纲的物理方程进行参数的组合， 实现参数 和方程的无量纲化，将方程无量纲化有以下几点好处：
（ 1） 方程形式可以得到简化并且可能减少方程个数，
速度；
（ 2） 通过无量纲化尽可能的减少方程中的常数运算，
某个特征参数，这样可以降低计算难度；
（ 3） 防止方程中的物理参数在数量级上造成差异，从而降低精度损失； （ 4） 将方程中的物理量无量纲化后容易实现计算中的相似模拟。
流体力学中的相似通常可以分为几何相似、 运动相似和动力相似。 流动相 似的概念来源于几何相似的概念， 两个流动如果相似， 例如模型流动与实际流 动相似， 则其流场中相应点上各同类物理量将具有各自固定的比例关系， 也即 可将模型实验的成果应用于实际流动中。
相似原理指出，两个流动若相似必满足一定条件，即满足几何相似、运动 相似、动力相似， 这些条件还应包括边界条件和初始条件相似。 根据相似原理， 两个流动现象只要同时满足上面的相似条件， 它们之间就存在相似关系， 其对 应物理量都成一定的比例关系。在应用中，首先需要分析所要研究的流体，找 出影响流动问题的作用力， 我们只需要满足一个主要作用力相似， 而不必计较 其它作用力是否达到相似。 例如对于一些流动现象， 只要流动的雷诺数不是很 大，一般其相似条件都依赖于雷诺数。 雷诺数是用来判断流体流动特性的无量
将这些常数转化为 进而提高实际计算
纲量，对于封闭环境内的流动， 方程表示；当雷诺数大于
当雷诺数小于 2300时的流动为层流， 能用N-S
4000时的流动为湍流，不能用 N-S方程表示。
二、二维定常不可压缩流体的 N-S方程
参照《工程流体力学基础》 ⑴，在流场中任取一个平面六面体微团，作用 在六面体上的力有质量力，作用在表面上的力除了法向力外，还有切向力，用
p表示切向力，用|表示切向力。对于这个六面体，每个面上都有三个应力分
量，共有18个应力分量
根据牛顿第二定律， 可写出沿 勒x l/yx 业叫
不=\殛+万(莎 +页0
du
T
X轴的运动微分方程：
(2.1)
y、z轴的方程类似可得。方程组中仍有多个未知量，不足以进行求解， 还必须对应力进
(2.2) (2.3)
最后导出沿x轴的
(2.4)
行分析，寻找应力之间的关系式。根据达朗伯原理和广义牛顿 内摩擦定律，则有：
本文研究的是二维定常不可压缩流体， 得出二维不可压缩定常流动的
不考虑z轴方向，以式2.4为参考,
N-S方程：
du
1和 {du dit\\
22N-S方程：
du
1 即
f(^u d2ii\\
(2.5)
(2.6)
式中，、分别是x，y方向的速度，「是流体密度，「是压力，?'是运动粘 度，X，丫是质量力在x，y方向上的两个分量。
二维定常不可压缩N-S方程无量纲分析
