广东省华南理工大学保送生、自主招生选拔试题（数学理）
试题 A
注意事项： 1、本试卷共六大题，满分
100 分；时间 90 分钟
2、所有答案直接写在答题纸上，写在试卷上无效。
3、答卷前请将密封线内各项填写清楚。
一、单项选择题（每小题
5 分，共 40 分）
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。请把所选择的答案填入下面的表格内：
2
1）已知复数
是（
z0
x0
i
）
，且
x0 i 的幅角主值是 2 ，则满足
z
2z0
2 的 z 的幅角主值的取值范围
, 5
A、
, 6
3
3 ,
C、
7
5
D、 12
）
,
9
12
12
B、
12
12 12
2） b 0 是函数
f x
x
2
bx
c
在 [0 ,
)
单调的（
A 、充分而不必要条件 C、充分必要条件
B 、必要而不充分条件
D、既不充分也不必要条件
3）已知
a , b
R ， a2
2b2 6 ，则 a
b 的最小值为（
）
5 3 3
n
7
D 、
A、
4）在
22
1
2n
B、
2 n
1
C、
n
3
2
x 2n
x 1 1 !
x
x 1 x 的展开式中，
2n+1 !
xn 的系数为（
）
2n+2 !
C、 n! n!
2n 2 !
A 、 n! n 5）已知圆 O : x
1 !
2
B、
n!n!
D、 n! n 1 !
y2
r 2 ，点 P a , b
, ab
0
是圆 O 内一点。过点 P 的圆 O 的最短的弦在直线 l1 上，
2
l r bx ay 2 直线 的方程为 ，那么（
）
A 、 1 C、 1
l// l
2 ，且 2 与圆
l
O 相交
B、 1 D、 l1
ll2l2
，且 与圆 O 相切 ，且 与圆 O 相离
2
l2l2
l// l
2 ，且 2 与圆
l
O 相离
0 x
6）已知
2 ，函数
f
x
2 5 sin x cos x cos x
1
的值域为（
）
A、
3 , 1
B、
3 , 2
1 , 3
C、
D 、
2 , 3
7）在三角形
立的是（
ABC 中，向量 ）
a AB AC
, b
3AB 8AC BC , c 4CB BA ，则下列结论一定成
A 、向量 C、向量
a
c 一定与向量 b 平行
一定与向量
B、向量
b c 一定与向量 a 平行
ab
平行
c
D 、向量
ab c 一定与向量 平行
x2
8）已知 c 是椭圆 a
2
y2
2b c
b2
1a b 0
的半焦距，则
2a 的取值范围是（ 2]
( ,
）
A、
2
1 ,
( ,1]
1
( ,
11
5 ] 2
二、填空题（每小题
、 2 D 、 2 B 、 2 C
5 分，共 25 分） 把答案填在对应题号后的横线上。
9）已知 A , B , C , D 是某球面上不共面的四点，
且 AB
BC
AD2
，BD AC
2 ，BC
AD ，
则此球的表面积等于 。
x 2
10）已知双曲线
若
y 2 b 2
1 a 0 , b 0
a2
右焦点为 F ，右准线 与两条渐近线分别交于
l
P, Q两点。
PQF
是直角三角形，则双曲线的离心率
。
e
11）已知函数
f x f y , x
是定义在
0 ,
上的增函数，且满足
f 3
1 ，
f xy f x
0 , y
0 ，则不等式
f
x f x 3
3
的解集为
。
x 1 x
2
y 0
2
，则的最大值为 12）已知 x y 2x 6 y 6 。
13）甲、乙两人下围棋，下三盘棋，甲平均能赢二盘，某日，甲、乙进行五打三胜制比赛，那么甲胜出的
0
x 2y
概率为 。
三、（ 10 分） 设三角形 ABC 三个顶点的坐标分别为
A2,1 ,B 1,2，C3, 1
AD AB
DM DE
D,E 分别为
BE
AB , BC
上的点， M 是 DE 上一点，且 BC
1）求点 M 的横坐标的取值范围； 2 ）求点 M 的轨迹方程。
四、（ 10 分） 已知函数
的实数 不等式
f x
是定义在 [ 4 ,
)
的单调增函数，要使得对于一切
x
f
cosx b2
P
f sin2 x b
3
恒成立，求实数
b
的取值范围。
五、（ 12 分）如图，在正三棱锥
ABC 中，侧棱长为 ，底面边长为32 ， E 为 BC的中点， EF
PA 于
F 。
1）求证： EF 为异面直线 PA 与
BC
的公垂线；
2 ）求异面直线 PA 与 BC 的距离；
3 ）求点 B 到面 APC 的距离。
六、（ 13 分）已知
a2
a 1 0 , b2b
b 1 0 , a b ，设 a1 1 , a2 an 1 an an 1 0 n 2 nan 1
a an
，
1）证明数列
bn
是等比数列；
2）求数列
an 的通项；
c
n
3）设
c1
n 1
c2 1 ， cn 2
cn ，证明：当 n 3 时有
1 cn 2a cn b b
b ，
n 1 。
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