21．（12.00分）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有 50 人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 30% ；
（2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由；
（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．
【分析】（1）用“59.5～69.5”这组的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；再计算出“89.5～99.5”这一组人数占总参赛人数的百分比，然后用1分别减去其它三组的百分比得到“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比； （2）利用“59.5～69.5”和“69.5～79.5”两分数段的百分比为40%可判断他不能获奖；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）5÷10%=50， 所以本次比赛参赛选手共有50人，
“89.5～99.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为
×100%=24%，
所以“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为1﹣10%﹣36%﹣24%=30%；
故答案为50，30%；
第21页（共25页）
（2）他不能获奖． 理由如下：
他的成绩位于“69.5～79.5”之间，
而“59.5～69.5”和“69.5～79.5”两分数段的百分比为10%+30%=40%， 因为成绩由高到低前60%的参赛选手获奖，他位于后40%， 所以他不能获奖； （3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8， 所以恰好选中1男1女的概率=
=．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
七、解答题（本题满分12分）
22．（12.00分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）． （1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润=盆数×每盆的利润”可得函数解析式；
第22页（共25页）
（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆， 则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆， 所以W1=（50+x）（160﹣2x）=﹣2x2+60x+8000， W2=19（50﹣x）=﹣19x+950；
（2）根据题意，得： W=W1+W2
=﹣2x2+60x+8000﹣19x+950 =﹣2x2+41x+8950 =﹣2（x﹣
）2+
，
∵﹣2＜0，且x为整数，
∴当x=10时，W取得最大值，最大值为9160，
答：当x=10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9160元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质．
八、解答题（本题满分14分）
23．（14.00分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F． （1）求证：CM=EM；
（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；
（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．
第23页（共25页）
【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明； （2）利用四边形内角和定理求出∠CME即可解决问题；
（3）首先证明△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，设FM=a，则AE=CM=EM=
a，EF=2a，推出
=
，
=
，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠DCB=90°， ∵DM=MB，
∴CM=DB，EM=DB， ∴CM=EM．
（2）解：∵∠AED=90°，∠A=50°， ∴∠ADE=40°，∠CDE=140°， ∵CM=DM=ME，
∴∠NCD=∠MDC，∠MDE=∠MED， ∴∠CME=360°﹣2×140°=80°， ∴∠EMF=180°﹣∠CME=100°．
（3）证明：如图2中，设FM=a．
第24页（共25页）
∵△DAE≌△CEM，CM=EM，
∴AE=ED=EM=CM=DM，∠AED=∠CME=90°
∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形， ∴∠DEM=60°，∠MEF=30°， ∴AE=CM=EM=∵CN=NM， ∴MN=∴∴
==
a， ，，
=
， a，EF=2a，
∴EM∥AN．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
第25页（共25页）
湘教版2020年中考数学模拟试题及答案（含详解）(2)
