角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15．（8.00分）计算：50﹣（﹣2）+
×
．
【分析】首先计算零次幂和乘法，然后再计算加减即可． 【解答】解：原式=1+2+4=7．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
16．（8.00分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：
今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？ 大意为：
今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？ 请解答上述问题．
【分析】设城中有x户人家，根据鹿的总数是100列出方程并解答． 【解答】解：设城中有x户人家， 依题意得：x+=100 解得x=75．
答：城中有75户人家．
【点评】考查了一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，列出方程．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8.00分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1； （2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；
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（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 20 个平方单位．
【分析】（1）以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，即可画出线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，即可画出线段A2B1； （3）连接AA2，即可得到四边形AA1B1A2为正方形，进而得出其面积． 【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求； （2）如图所示，线段A2B1即为所求；
（3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形， ∴四边形AA1B1A2的面积是（故答案为：20．
【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用相似变换的性质得出对应点的位置是解题关键．
18．（8.00分）观察以下等式： 第1个等式：++×=1， 第2个等式：++×=1， 第3个等式：++×=1，
）2=（
）2=20．
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第4个等式：++×=1， 第5个等式：++×=1， ……
按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： （2）写出你猜想的第n个等式： 并证明．
【分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次加1，每个分字分别是1和n﹣1
【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5 故应填：
；
（用含n的等式表示），
（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1 故应填：证明：∴等式成立
【点评】本题是规律探究题，同时考查分式计算．解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10.00分）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）
=
第18页（共25页）
【分析】根据平行线的性质得出∠FED=45°．解等腰直角△DEF，得出DE=DF=1.8米，EF=18.036
DE=
米．证明∠AEF=90°．解直角△AEF，求出AE=EF?tan∠AFE≈
米．再解直角△ABE，即可求出AB=AE?sin∠AEB≈18米．
【解答】解：由题意，可得∠FED=45°． 在直角△DEF中，∵∠FDE=90°，∠FED=45°， ∴DE=DF=1.8米，EF=∵∠AEB=∠FED=45°，
∴∠AEF=180°﹣∠AEB﹣∠FED=90°．
在直角△AEF中，∵∠AEF=90°，∠AFE=39.3°+45°=84.3°， ∴AE=EF?tan∠AFE≈
×10.02=18.036
（米）．
DE=
米．
在直角△ABE中，∵∠ABE=90°，∠AEB=45°， ∴AB=AE?sin∠AEB≈18.036
×
≈18（米）．
故旗杆AB的高度约为18米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，平行线的性质，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．
20．（10.00分）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5． （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
的交点E（保留作图
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【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；
（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，根据圆周角定理得到
=
，再根据
垂径定理得到OE⊥BC，则EF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF=
，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．
【解答】解：（1）如图，AE为所作；
（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE， ∴
=
，
∴OE⊥BC， ∴EF=3， ∴OF=5﹣3=2， 在Rt△OCF中，CF=在Rt△CEF中，CE=
=
， =
．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外心．
六、解答题（本大题满分12分）
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湘教版2024年中考数学模拟试题及答案（含详解）(2)
