2024年浙江省温州市中考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）： 1．（4分）﹣6的相反数是（ ） A．6
B．1
C．0
D．﹣6
2．（4分）某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有（ ）
A．75人 B．100人 C．125人 D．200人
3．（4分）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）
A． B． C．
最接近的是（ ）
D．
4．（4分）下列选项中的整数，与A．3
B．4
C．5
D．6
5．（4分）温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：
零件个数（个） 5 人数（人） 3 6 15 7 22 8 10 表中表示零件个数的数据中，众数是（ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
6．（4分）已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y=3x﹣2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（ ） A．0＜y1＜y2
B．y1＜0＜y2
C．y1＜y2＜0
D．y2＜0＜y1
，
7．（4分）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=
则小车上升的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
8．（4分）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）
2
+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ）
C．x1=﹣1，x2=3
D．x1=﹣1，x2=﹣3
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
9．（4分）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2
EF，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．12S B．10S C．9S D．8S
10．（4分）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧
，
，
，…得到
斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（ ）
A．（﹣6，24） B．（﹣6，25） C．（﹣5，24） D．（﹣5，25）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）： 11．（5分）分解因式：m2+4m= ．
12．（5分）数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是 ．
13．（5分）已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为 ． 14．（5分）甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程： ．
15．（5分）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为 ．
16．（5分）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为 cm．
三、解答题（共8小题，共80分）：
17．（10分）（1）计算：2×（﹣3）+（﹣1）2+（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．
18．（8分）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD． （1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．
；
19．（8分）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）． （1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．
（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）
20．（8分）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标； （2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
21．（10分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D （1）求证：四边形CDEF是平行四边形； （2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．
22．（10分）如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2． （1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D； ①连结BD，求BD的最小值；
②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．
23．（12分）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．
（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值； （2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等 ①求AB，BC的长；
②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域
Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．
24．（14分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE． （1）当∠APB=28°时，求∠B和（2）求证：AC=AB． （3）在点P的运动过程中
①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值； ②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．
的度数；
2024年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）： 1．（4分）（2024?温州）﹣6的相反数是（ ） A．6
B．1
C．0
D．﹣6
【分析】根据相反数的定义求解即可． 【解答】解：﹣6的相反数是6， 故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（4分）（2024?温州）某校学生到校方式情况的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生有（ ）
A．75人 B．100人 C．125人 D．200人
【分析】由扇形统计图可知，步行人数所占比例，再根据统计表中步行人数是100人，即可求出总人数以及乘公共汽车的人数； 【解答】解：所有学生人数为 100÷20%=500（人）； 所以乘公共汽车的学生人数为 500×40%=200（人）． 故选D．
【点评】此题主要考查了扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
3．（4分）（2024?温州）某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【解答】解：从正面看故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4．（4分）（2024?温州）下列选项中的整数，与A．3
B．4
C．5
D．6
最接近的是（ ）
，
【分析】依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行解答即可． 【解答】解：∵16＜17＜20.25， ∴4＜∴与
＜4.5， 最接近的是4．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
5．（4分）（2024?温州）温州某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表： 零件个数（个） 5 人数（人） 3 6 15 7 22 8 10 表中表示零件个数的数据中，众数是（ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【分析】根据众数的定义，找数据中出现最多的数即可．
【解答】解：数字7出现了22次，为出现次数最多的数，故众数为7个，
故选C．
【点评】本题考查了众数的概念．众数是数据中出现次数最多的数．众数不唯一．
6．（4分）（2024?温州）已知点（﹣1，y1），（4，y2）在一次函数y=3x﹣2的图象上，则y1，y2，0的大小关系是（ ） A．0＜y1＜y2
B．y1＜0＜y2
C．y1＜y2＜0
D．y2＜0＜y1
【分析】根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出y1、y2的值，将其与0比较大小后即可得出结论． 【解答】解：∵点（﹣1，y1），（4，∴y1=﹣5，y2=10， ∵10＞0＞﹣5， ∴y1＜0＜y2． 故选B．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出y1、y2的值是解题的关键．
7．（4分）（2024?温州）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα=
，则小车上升的高度是（ ）
）在一次函数y=3x﹣2的图象上，
A．5米 B．6米 C．6.5米 D．12米
【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可． 【解答】解：如图AC=13，作CB⊥AB，
∵cosα==，
∴AB=12， ∴BC=
=132﹣122=5，
∴小车上升的高度是5m． 故选A．
【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（4分）（2024?温州）我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（ ） A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=﹣1，x2=3
D．x1=﹣1，x2=﹣3
【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3=1或2x+3=﹣3，然后解两个一元一次方程即可． 【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0看作关于2x+3的一元二次方程， 所以2x+3=1或2x+3=﹣3， 所以x1=﹣1，x2=﹣3． 故选D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．（4分）（2024?温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2
EF，则正方形ABCD的面积为（ ）
A．12S B．10S C．9S D．8S
【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题． 【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2 由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b， ∵AM=2∴2a=2∴a=
EF， b， b，
∵正方形EFGH的面积为S， ∴b2=S，
∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S， 故选C．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．（4分）（2024?温州）我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧
，
，
，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P9的坐标为（ ）
A．（﹣6，24） B．（﹣6，25） C．（﹣5，24） D．（﹣5，25） 【分析】观察图象，推出P9的位置，即可解决问题．
【解答】解：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离=21+5=26，
所以P9的坐标为（﹣6，25）， 故选B．
【点评】本题考查规律型：点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，确定P9的位置．
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）：
11．（5分）（2024?温州）分解因式：m2+4m= m（m+4） ． 【分析】直接提提取公因式m，进而分解因式得出答案． 【解答】解：m2+4m=m（m+4）． 故答案为：m（m+4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．（5分）（2024?温州）数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是 4.8或5或5.2 ．
【分析】根据中位数的定义确定整数a的值，由平均数的定义即可得出答案． 【解答】解：∵数据1，3，5，12，a的中位数是整数a， ∴a=3或a=4或a=5，
当a=3时，这组数据的平均数为
=4.8，
当a=4时，这组数据的平均数为当a=5时，这组数据的平均数为故答案为：4.8或5或5.2．
=5， =5.2，
【点评】本题主要考查了中位数和平均数，解题的关键是根据中位数的定义确定a的值．
13．（5分）（2024?温州）已知扇形的面积为3π，圆心角为120°，则它的半径为 3 ．
【分析】根据扇形的面积公式，可得答案． 【解答】解：设半径为r，由题意，得 πr2×
=3π，
解得r=3， 故答案为：3．
【点评】本题考查了扇形面积公式，利用扇形面积公式是解题关键．
14．（5分）（2024?温州）甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：
=
．
【分析】设甲每天铺设x米，则乙每天铺设（x+5）米，根据铺设时间=和甲、乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可．
【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：
=
． =
．
故答案是：
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．
15．（5分）（2024?温州）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，
点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD=30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，B′和B分别对应）．若AB=1，反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B，则k的值为
．
【分析】设B（m，1），得到OA=BC=m，根据轴对称的性质得到OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°，求得∠A′OA=60°，过A′作A′E⊥OA于E，解直角三角形得到A′（m，
m），列方程即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCO是矩形，AB=1， ∴设B（m，1）， ∴OA=BC=m，
∵四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称， ∴OA′=OA=m，∠A′OD=∠AOD=30°， ∴∠A′OA=60°， 过A′作A′E⊥OA于E， ∴OE=m，A′E=∴A′（m，
m，
m），
∵反比例函数y=（k≠0）的图象恰好经过点A′，B， ∴m?∴m=∴k=
m=m， ， ．
．
故答案为：
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
16．（5分）（2024?温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为 24﹣8 cm．
【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣得出点E的横坐标为6+8
x2+x+24，最后根据点E的纵坐标为10.2，
，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，
由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36， ∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG， ∴BQ=12﹣8=4，
由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG， ∴
=
，即
=
，
∴CG=12，OC=12+8=20， ∴C（20，0），
又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24）， ∴可设抛物线为y=ax2+bx+24，
把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得
，解得，
∴抛物线为y=﹣
x2+x+24，
又∵点E的纵坐标为10.2， ∴令y=10.2，则10.2=﹣解得x1=6+8
，x2=6﹣8
x2+x+24， （舍去）， ，
∴点E的横坐标为6+8又∵ON=30， ∴EH=30﹣（6+8故答案为：24﹣8
）=24﹣8．
．
【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．
三、解答题（共8小题，共80分）：
17．（10分）（2024?温州）（1）计算：2×（﹣3）+（﹣1）2+（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．
【分析】（1）原式先计算乘方运算，化简二次根式，再计算乘法运算，最后算加减运算即可得到结果．
（2）运用平方差公式即可解答． 【解答】解：（1）原式=﹣6+1+2
；
=﹣5+2；
（2）原式=1﹣a2+a2﹣2a=1﹣2a．
【点评】本题考查了平方差公式，实数的运算以及单项式乘多项式．熟记实数运算法则即可解题，属于基础题．
18．（8分）（2024?温州）如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．
【分析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；
（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．
【解答】解：（1）∵AC=AD， ∴∠ACD=∠ADC， 又∵∠BCD=∠EDC=90°， ∴∠ACB=∠ADE， 在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）当∠B=140°时，∠E=140°， 又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
19．（8分）（2024?温州）为培养学生数学学习兴趣，某校七年级准备开设“神奇魔方”、“魅力数独”、“数学故事”、“趣题巧解”四门选修课（每位学生必须且只选其中一门）．
（1）学校对七年级部分学生进行选课调查，得到如图所示的统计图．根据该统计图，请估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数．
（2）学校将选“数学故事”的学生分成人数相等的A，B，C三个班，小聪、小慧都选择了“数学故事”，已知小聪不在A班，求他和小慧被分到同一个班的概率．（要求列表或画树状图）
【分析】（1）利用样本估计总体，用480乘以样本中选“数学故事”的人数所占的百分比即可估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出他和小慧被分到同一个班的结果数，然后根据概率公式求解． 【解答】解：（1）480×
=90，
估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数为90人； （2）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中他和小慧被分到同一个班的结果数为2， 所以他和小慧被分到同一个班的概率==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．\\
20．（8分）（2024?温州）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（2，3），B（4，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标； （2）在图2中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．
【分析】（1）设P（x，y），由题意x+y=2，求出整数解即可解决问题； （2）设P（x，y），由题意x2+42=4（4+y），求出整数解即可解决问题；
【解答】解：（1）设P（x，y），由题意x+y=2， ∴P（2，0）或（1，1）或（0，2）不合题意舍弃， △PAB如图所示．
（2）设P（x，y），由题意x2+42=4（4+y），
整数解为（2，1）或（0，0）等，△PAB如图所示．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计、二元方程的整数解问题等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．（10分）（2024?温州）如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O（圆心O在△ABC内部）经过B、C两点，交AB于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点F．延长CO交AB于点G，作ED∥AC交CG于点D （1）求证：四边形CDEF是平行四边形； （2）若BC=3，tan∠DEF=2，求BG的值．
【分析】（1）连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据切线的性质得到∠FEO=90°，得到EF∥OD，于是得到结论；
（2）过G作GN⊥BC于N，得到△GMB是等腰直角三角形，得到MB=GM，根据平行四边形的性质得到∠FCD=∠FED，根据余角的性质得到∠CGM=∠ACD，等
量代换得到∠CGM=∠DEF，根据三角函数的定义得到CM=2GM，于是得到结论． 【解答】解：（1）连接CE，
∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠B=45°，
∴∠COE=2∠B=90°， ∵EF是⊙O的切线， ∴∠FEO=90°， ∴EF∥OC， ∵DE∥CF，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）过G作GN⊥BC于N， ∴△GMB是等腰直角三角形， ∴MB=GM，
∵四边形CDEF是平行四边形， ∴∠FCD=∠FED，
∵∠ACD+∠GCB=∠GCB+∠CGM=90°， ∴∠CGM=∠ACD， ∴∠CGM=∠DEF， ∵tan∠DEF=2， ∴tan∠CGM=∴CM=2GM，
∴CM+BM=2GM+GM=3， ∴GM=1， ∴BG=
GM=
． =2，
【点评】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）（2024?温州）如图，过抛物线y=x2﹣2x上一点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，交y轴于点C，已知点A的横坐标为﹣2． （1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；
（2）在AB上任取一点P，连结OP，作点C关于直线OP的对称点D； ①连结BD，求BD的最小值；
②当点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方时，求直线PD的函数表达式．
【分析】（1）首先确定点A的坐标，利用对称轴公式求出对称轴，再根据对称性可得点B坐标；
（2）①由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上，推出当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD；
②当点D在对称轴上时，在Rt△OD=OC=5，OE=4，可得DE=
=
=3，
求出P、D的坐标即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意A（﹣2，5），对称轴x=﹣
=4，
∵A、B关于对称轴对称， ∴B（10，5）．
（2）①如图1中，
由题意点D在以O为圆心OC为半径的圆上， ∴当O、D、B共线时，BD的最小值=OB﹣OD=
﹣5=5﹣5．
②如图2中，
图2
当点D在对称轴上时，在Rt△ODE中，OD=OC=5，OE=4，
∴DE===3，
∴点D的坐标为（4，3）．
设PC=PD=x，在Rt△PDK中，x2=（4﹣x）2+22， ∴x=， ∴P（，5），
∴直线PD的解析式为y=﹣x+
．
【点评】本题考查抛物线与X轴的交点、待定系数法、最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，学会利用辅助圆解决最短问题，属于中考常考题型．
23．（12分）（2024?温州）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示． （1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值； （2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等 ①求AB，BC的长；
②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．
【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可； （2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；
②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元
/m2，由PQ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x?s+3x?（12﹣s）=4800，解得s=
，由0＜s＜12，可得0＜
＜12，解不等式即可；
【解答】解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000， 解得S≤24． ∴S的最大值为24．
（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1， ∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．
②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2， ∵PQ∥AD，
∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），
由题意12（300﹣3x）+5x?s+3x?（12﹣s）=4800， 解得s=
，
∵0＜s＜12， ∴0＜
＜12，又∵300﹣3x＞0，
综上所述，50＜x＜100，150＜3x＜300， ∴丙瓷砖单价3x的范围为150＜3x＜300元/m2．
【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型．
24．（14分）（2024?温州）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE． （1）当∠APB=28°时，求∠B和（2）求证：AC=AB． （3）在点P的运动过程中
①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值； ②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．
的度数；
【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数，再连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB=28°，进而得到
=2∠MDB=56°；
（2）根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出AC=AB； （3）①记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=
，MR=
，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当
∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值为
或或
；
②先判定△DEG是等边三角形，再根据GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG，即可得到CG=MH=而得出S△ACG=CG×CH=面积之比．
，再根据S△DEG=
﹣1，进
，即可得到△ACG和△DEG的
【解答】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM， ∴PA=PB， ∴∠PAB=∠B， ∵∠APB=28°， ∴∠B=76°， 如图1，连接MD，
∵MD为△PAB的中位线， ∴MD∥AP，
∴∠MDB=∠APB=28°， ∴
=2∠MDB=56°；
（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，
又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B， ∴∠BAP=∠ACB， ∵∠BAP=∠B， ∴∠ACB=∠B， ∴AC=AB；
（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，
∵MD是Rt△MBP的中线， ∴DM=DP，
∴∠DPM=∠DMP=∠RCD， ∴RC=RP，
∵∠ACR=∠AMR=90°， ∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2， ∴12+MR2=22+PR2， ∴12+（4﹣PR）2=22+PR2， ∴PR=∴MR=
， ，
Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径， ∴Q与R重合， ∴MQ=MR=
；
Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，
在Rt△QCP中，PQ=2PR=，
∴MQ=；
Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，
∵BM=1，MP=4， ∴BP=
，
， =
，
∴DP=BP=∵cos∠MPB=∴PQ=∴MQ=
， ；
Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，
由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°， ∴MQ=
；
或或
；
综上所述，MQ的值为
②△ACG和△DEG的面积之比为理由：如图6，∵DM∥AF， ∴DF=AM=DE=1， 又由对称性可得GE=GD， ∴△DEG是等边三角形， ∴∠EDF=90°﹣60°=30°， ∴∠DEF=75°=∠MDE， ∴∠GDM=75°﹣60°=15°， ∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°， ∴GMD=∠GDM， ∴GM=GD=1， 过C作CH⊥AB于H，
．
由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG，AH=∴CG=MH=
﹣1，
，
，
∴S△ACG=CG×CH=∵S△DEG=
，
∴S△ACG：S△DEG=．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及等边三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用．
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