第一章 函数与极限
第一节 函数
一、集合
定义：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U?a?.
设?是任一正数，则开区间?a??,a???就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的?邻域，记作U?a,??，即U?a,????a??,a?????x|a???x?a?????x|x?a???，点a称为这邻域的中心，?称为这邻域的半径.
点a的?邻域去掉中心a后，称为点a的去心?邻域，记作U?a,??，即
。U?a,????a??,a???a,a?????x|a???x?a或a?x?a?????x|0?x?a???
把开区间?a??,a?称为a的左?邻域，把?a,a???称为a的右?邻域.
二、函数 1．函数的定义
定义：对于任意x?D?R，按照对应法则f，总存在确定的实数y与之对应，则称y是
x的函数，记y?f(x)．自变量x取值的全体称为f的定义域．对于用抽象的数学式表示的函数，
。由于没有实际意义，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域．
?5?例：设x为任一实数，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作?x?，例如???0，
?7??2??1，??1???1，??3.5???4，把x看作变量，则函数y??x?称为取整函数．显然x??x?，?? 1
定义域为R，值域为Z．注：若整数n??x?，则n?x．
指数函数：y?a（a?0且a?1） 幂函数：y?x?（??R是常数）
对数函数：y?logax（a?0且a?1），特别地，当a?e时，记为y?lnx 三角函数：y?sinx，y?cosx，y?tanx，y?cotx?y?cscx?1 sinx11，y?secx?， tanxcosxx
反三角函数：y?arcsinx，y?arccosx，y?arctanx，y?arccotx y?arcsinx：定义域[?1,1]，值域[???,]
22
y?arccosx：定义域[?1,1]，值域[0,?]
2
????y?arctanx：定义域R，值域??,?
?22?
y?arccotx：定义域R，值域?0,??
定义：指数函数、幂函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数． 定义：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合，且用一个解析式表示的函数，称为初等函数.
注：求定义域考虑的几个方面（其中
W表示一个x或x的一个表达式）
1
y?，W①分母不能为０
W
偶次y?W，偶次根号下W②大于等于０
③④
y?logaW，真数W大于０
y?arcsinW?1；y?arccosW?1 ，?1?W，?1?W3
?y?tanWW?k??(k?Z)；y?cotW?k?(k?Z) ⑤，，W2例：求下列函数的定义域 （１）y?13x?1?8?2x?x2（２）y?arccosln1?x 解：（１）函数成立满足的条件为
?x?1??x?1?3x?1?0即?即? ?2(x?2)(?x?4)?0?2?x?48?2x?x?0????解之得?2?x?1或1?x?4 所以函数的定义域为[?2,1)?(1,4] （２）函数成立满足的条件为
??1?ln1?x?1????e?1?1?x?e1?x?0?即?
x?1???1?x?0??解之得1?e2?x?1?e?2
2?2所以函数的定义域为[1?e,1?e] ２．函数的特性
（１）单调性：对?x1，x2?I?D，当x1?x2时，若f(x1)?f(x2)，则称函数f(x)在I上是单调增加的；若f(x1)?f(x2)，则f(x)在I上是单调减少的．
（２）奇偶性：设f(x)的定义域为D，其中D关于原点对称，若f(?x)?f(x)成立，则称f(x)为偶函数；若f(?x)??f(x)成立，则称f(x)为奇函数.
注：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称
（３）周期性：设f(x)的定义域为D，如果存在一个正数l，使得对于任一x?D均有(x?l)?D，且f(x?l)?f(x)成立，则称f(x)为周期函数，正数l称为函数f(x)的周期.
（４）有界性：设函数f(x)在集合D上有定义，如果存在正数M，使得f(x)≤M，对任一x?D都成立，则称f(x)在D上有界；
如果这样的M不存在，即对于任意的正数M，无论它多大， 总存在x?D使得f(x)?M，则称f(x)在D上无界.
4
如果存在常数M（或m），使得对任意的x?D，
恒有f(x)?M（或f(x)?m），则称f(x)在D上有上界（或有下界）.
注：f(x)≤M即?M?f(x)≤M，图像夹在以y??M和y?M为边界的带型区域之间． 例：函数y?sinx在其定义域R上是有界的，这是因为对任意的x?R，恒有sinx≤1． 例：函数y?恒有
1在?0,1?内没有上界但有下界；在?1,2?内有界，显然对任意的x??1,2?，x11≤1，这就是说y?在?1,2?上是有界的；在其定义域(?∞,0)U(0,?∞)内无界． xx注：函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界． 证明：必要性 若函数f(x)在X上有界 即?M?0，使得f(x)≤M，对?x?X都成立
? ?M?f(x)≤M，?对?x?X，f(x)?M，?M?f(x)
即f(x)在X上既有上界又有下界． 充分性 若f(x)在X上既有上界又有下界 即?数k1，使得f(x)≤k1，对?x?X都成立
?数k2，使得f(x)?k2，对?x?X都成立
?k2?f(x)≤k1，对?x?X都成立
取M?max?k1,k2?，则f(x)≤M，对?x?X都成立
?f(x)在X上有界．
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高等数学同济七版第一章电子教案
