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习 题
1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg?k?
其中?为两根杆的静形变量，由材料力学易知
mgh3 ?=?24EJ 则 k=
题1-1图
24EJ 3h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 mx??kx 所以固有频率pn?
1-2 一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
?
mg
\24EJ 3mh?
h
?2Fsin?
?
题1-2图
解：给杆一个微转角?
a?＝h? 22Fcos?＝mg
由动量矩定理：
??I??MI??1ml212
aa2M??Fasin??cos??mg???mga228h?。
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其中
sin???cos?2?1
21a2?ml???mg???0124h 23ga2pn?2lh2πl2h2πlhT??2π?
pna3g3ga2
1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1和k3，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3并联，设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。即为
k1??k1k2k4?k2k3k4?k1k2k4k1k2kk??k3?12，k?，k2
k1?k2k1?k2k1k3?k2k3?k1k2?k1k4?k2k4p2?
1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J1、J2和J3是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。
题1-3图
k1k2k4?k2k3k4?k1k2k4
m(k1k3?k2k3?k1k2?k1k4?k2k4)解：
k1?GJ1/l1 （1） k2?GJ2/l2 （2） k3?GJ3/l3 （3） k23?GJ2J3/(J2l3?J3l2) （4）
题1-4图
Pn2?(k1?k23)/I由（1）(2)(3)(4)知Pn2?G(J1J2l3?J3J1l2?J2J3l1)/Il1(J2l3?J3l2)
。
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1-5如题1-5图所示，质量为m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
解：此系统是一个保守系统，能量守恒.如图题中的广义坐标x，设系统的振动方程为：
题1-5图
x?Asin(wt?a)
&则系统运动过程中速度表达式为：x?Awcos(wt?a)
系统最大位移和速度分别为：
xmax?A
&xmax?Ax系统在运动过程中，动能表达式为：
&&?111?1??x?1?x22&&T?m1x?m2x??m2r2????I?? 222?2??r?2?R2?弹性势能为：
221?x?12U?k1?R1??k2x
2?R2?2系统最大动能为：Tmax?2111?1??Aw?1?Aw?m1(Aw)2?m2(Aw)2??m2r2??? ??I?222?2r2R????2?222最大弹性势能为：Umax1?A?1?k1?R1??k2A2 2?R2?2由于系统机械能守恒，因此：
Tmax?Umax
111?11?A?1??Aw?1?Aw??m1(Aw)2?m2(Aw)2??m2r2???I?k1?R1??k2A2 ???222?22?R2?2??r?2?R2?由上式可解得系统的固有频率为：
222。
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R1?k2R2w? ?3I?m?m??122?2R?2?k11-6如题1-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I0，求系统的固有频率。 解：设曲臂顺时针方向转动的?角为广义坐标，系统作简
谐运动，其运动方程为???sin(pnt??)。?很小，系统的动能为
T?1112???IO??m1(a?)2?m2(l?)2 222???pncos(pnt??) ?题1-6图
所以， Tmax?11122222IO?2pn?m1?2pna??2pnl 222取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为?1,?2,?3，由
?mV?O(F)?0， k1?1a?m1ga?k3?3b?k2?2l?0 （A）
由题意可知，系统势能为
111k1[(?a??1)2??12]?k3[(?b??3)2??32]?k2[(?l??2)2??22]?m1g?a（B） 222111k1?2a2?k3?2b2?k2?2l2 222将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，
Vmax?由， Tmax?Vmax 得
11111122222IO?2pn?m1?2pna??2pnl?k1?2a2?k3?2b2?k2?2l2 2222222nk1a2?k3b2?k2l2所以，有p? 22IO?m1a?m2l
1-7一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。 解：振动衰减曲线得包络方程为：X?Ae?nt
振动20个循环后，振幅比为：
0.64?e20nTd 0.16。
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?Td?ln4 20nTln424?2代入Td?,得：( )?22220nP?N1?5n又 Pn?g?10g dst4?2ln42?( )＝2100g?N20n?c = 6.9 N s /m
2acc?l
mk3ka22p?3，nml2
1-8一长度为l、质量为m的均质刚性杆铰接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和固有频率的表达式。
题1-8图
XO
YO
FK
O
FC
?
mg
解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：
???I0??c?l2?k?a2?0
1?I0?ml23?c3ka2??????????0 2mml3ka23c?p?,2n?mml22n当n＝pn时，c＝cC
?cC?
2nm2pnm2a??33lmk 3。
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第1章--单自由度系统的自由振动题解
