www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台第3章微分中值定理与导数的应用3.1复习笔记一、微分中值定理1．罗尔定理（1）费马引理设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U（x0），有f（x）≤f（x0）或f（x）≥（x0），则f′（x0）＝0。（2）罗尔定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导；③在区间端点处的函数值相等，即f（a）＝f（b）。则在（a，b）内至少有一点?（a＜?＜b），使得f′（?）＝0。2．拉格朗日中值定理（1）拉格朗日中值定理如果函数f（x）满足：①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少有一点?（a＜?＜b），有f（b）－f（a）＝f′（?）（b－a）。（2）拉格朗日中值定理的证明思路1/140www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台引进辅助函数φ（x）＝f（x）－f（a）－（f（b）－f（a））（x－a）/（b－a），再利用罗尔定理，即可证得。（3）有限增量公式f（x＋Δx）－f（x）＝f′（x＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）或Δy＝f′（x＋θΔx）·Δx（0＜θ＜1）。（4）定理如果函数f（x）在区间I上连续，I内可导且导数恒为零，则f（x）在区间I上是一个常数。3．柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）对任一x∈（a，b），F′（x）≠0，则在（a，b）内至少有一点?，有[f（b）－f（a）]/[F（b）－F（a）]＝f′（?）/F′（?）。二、洛必达法则1．洛必达法则（1）x→a时，0/0的洛必达法则①当x→a时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②在点a的某去心邻域内，f′（x）及F′（x）都存在且F′（x）≠0；③lim
f??x?存在（或为无穷大），则x?aF??x?f?x?f??x?lim?limx?aF?x?x?aF??x?2/140www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台（2）x→∞时，0/0的洛必达法则①当x→∞时，函数f（x）及F（x）都趋于零；②当|x|＞N时，f′（x）与F′（x）都存在，且F′（x）≠0；③lim
f??x?存在（或为无穷大），则x??F??x?f?x?f??x?lim?limx??F?x?x??F??x?注：对于x→a或x→∞时的未定式∞/∞，也有相应的洛必达法则。（3）使用洛必达法则的注意事项①如果不是未定式，则不能应用洛必达法则。②其他还有一些0·∞、∞－∞、00、1∞、∞0型的未定式，也可通过0/0或∞/∞型的未定式来计算。a．0·∞型limxlnx?n?0?。【例】求极限x
?0?
n
解：1??xn?lnxnxlimxlnx?lim??n?lim??lim????0?n?1x?0?x?0xx?0?nxx?0?n?b．∞－∞型【例】求极限x??解：lim?secx?tanx?2。lim?secx?tanx??lim??x?2x?21?sinx?cosx
?lim?0?cosxx??sinx2c．00型3/140www.100xuexi.com圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台lim?x。【例】求极限x?0解：设y＝xx，取对数得lny＝xlnx，x1
lnxx?lim??x??0limlny?limxlnx?lim?lim??????x?0x?0x?01x?01x?0??2xx因为y＝elny，而limy＝limelny＝elimlny（当x→0＋），所以x?0
lim?xx?lim?y?e0?1
x?0
d．1?型?3?
【例】求极限lim?1??。x???x?
x解：方法一（利用洛必达法则）令y＝（1＋3/x）x，则lny＝xln（1＋3/x）＝x[ln（x＋3）－lnx]11?ln?x?3??lnx3x2x?3xlimlny?limx?ln?x?3??lnx??lim?lim2?3??limx??x???x??x??x??x?3x11?2xx，limlny?3?
故lim?1???limelny?ex???e3。x???x?x??x方法二（利用重要极限）因为?1?lim?1???ex???x???x?1??3?lim?1???lim?1??x??x??x?x????3?令y＝x/3xx4/140www.100xuexi.comx圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台3y3??1?y??1??3?3则lim?1???lim?1???lim??1????e。x??y?????x?y???y???y??
e．∞0型【例】求极限limx。x??1x解：令u?limx
x??1x则1
????lnx????1?
lnu?ln?limx??limln?x??lim?lnx??lim?limx?0??
?x??x???x??1?x???x????x???x1x1x故u＝e0＝1。③洛必达法则可以和其他求极限方法结合使用，可以应用等价无穷小或重要极限。【例】求极限lim解tanx?x
。x?0x2sinx：tanx?xtanx?xsec2x?12sec2xtanx1tanx1lim2?lim?lim?lim?lim?。32x?0xsinxx?0x?0x?0x?0x3x6x3x3
④当lim[f′（x）/F′（x）]不存在时（等于无穷大的情况除外），lim[f（x）/F（x）]仍可能存在。【例】求极限lim解：lim
x??x??
x?sinx
。xx?sinxsinx?sinx?
?lim?1??1?lim?1?0?1。?x??x??xxx??
三、泰勒公式5/140
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