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解:
归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：
Ha(s)?11?
s2?2s?1s2?1.4142136s?1 则将s?s?c代入得出截止频率
为?c的模拟原型为 Ha(s)?(1ss)2?1.4142136()?1200?200?
?394784.18
s2?888.58s?394784.18 由双线性变换公式可得：
H(z)?Ha(s)|21?z?1s??T1?z?1
?(2?103?394784.181?z231?z)?888.58?(2?10?)?394784.18?1?11?z1?z?1?1
0.064(1?2z?1?z?2)? ?1?21?1.1683z?0.4241z
5. 试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数（设 ?c?1rad s）。 解:
幅度平方函数为：
|H(j?)|2?221 41?(?/?c) 令???s，则有
Ha(s)Ha(?s)?1 41?(s/?c)精选文档
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各极点满足下式：
?2k?1j[??]24sk??ce，k=1,2,3,4
则k=1,2时，所得的sk即为
Ha(s)的极点：
s1??ce3j?4??22 ?j22 s2??ce5j?4??3232 ?j22由以上两个极点构成的系统函数为
Ha(s)? ?k0(s?s1)(s?s2)k0s2?32s?3
代入 s?0 时 Ha(s)?1 , 可得 k0?3所以 Ha(s)?
6. 试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。已知通带波纹为2dB，归一化截止频率为?c解:
由于 ?1?2dB ， 则3s2?32s?3?1rads。(试用不同于书本的解法解答）
??1010?1?100.2?1 ?0.5848932???0.5848932?0.76478312?1
因为截止频率为
?c?2rads，则
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??1??a?csin（）41???1 ??sh?sh?1()???c?sin()??4?N1?2?1 ??sh?sh?1()??2?0.765?2?2 ?-0.804
?1?b?ccos()41???1 ?ch?sh?1()???c?cos()??4?N1?2?1 ?ch?sh?1()??2?0.765?2?2 ?1.378??
则s1??0.804?j1.378 s2?s1??0.804?j1.378则Ha(s)? ?A(s?s1)(s?s2)1.0116057s2?1.608s?1.2735362因为N?2是偶数， 故s?0(??0)时，有1 Ha(0)??0.794328221??可求得A?1.2735362?0.7943282 ?1.0116057
7. 已知模拟滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型，而实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型。则设计各类型数字滤波器可以有哪些方法？试画出这些方法的结构表示图并注 明其变换方法。 模拟归一化原模拟低通、 型 模拟—模拟 高通、带通、带阻 精选文档 数字低通、 高通、带通、带阻 .
频带变换 数字化
(a) 先模拟频带变换，再数字化 模拟归一化原 型 (b) 把(a)的两步合成一步直接设计
模拟归一化原 数字低通、高通、带通、带阻 数字低通、 型 数字化 数字低通 数字—数字 高通、带通、 带阻 频带变换 (c) 先数字化，再进行数字频带变换
8. 某一低通滤波器的各种指标和参量要求如下： (1) 巴特沃思频率响应，采用双线性变换法设计； (2) 当0?f?2.5Hz时，衰减小于3dB； (3) 当f?50Hz时，衰减大于或等于40dB； (4) 抽样频率fs?200Hz。
试确定系统函数H(z),并求每级阶数不超过二阶的级联系统函数。 解：
T?1?5?10?3 fs1??20040
1??st?2?fstT?2??50??2002 采用双线性变换法:
?c?2?fcT?2??2.5?精选文档
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2?tg() T2 由指标要求得：
??20log10|Ha(j400tg(
?80)|??320log10|Ha(j400tg()|??404
12 又 Ha(j?)?
?2N1?()?c 故
20log10|Ha(j?)|??10log10[1?(??2N)] ?c因而2N???????j400tg(80)?? ?10log10?1?????3 ??c????????2N???????j400tg(4)???10log10?1?????40??c????????取等号计算，则有：
1?[400tg(?/80)/?c]2N?100.3
............(1)1?[(400tg(?/4)/?c]2N?104
.............(2)得
1log[(104?1)/(100.3?1)]N??1.42
2log[1/tg(?/80)]
取N=2 , 代入(1)式使通带边沿满足要求，
可得 ?c?15.7
又二阶归一化巴特沃思滤波器为：
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数字信号处理--程佩青-课后习题答案-第六章习题与答案
