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2017年自主招生数学试题
(分值: 100分 时间:90分钟)
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1、若对于任意实数a，关于x的方程x?2ax?a?2b?0都有实数根，则实数b的取值范围是（ ）
211 C b≤? D b≤-1
822、如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，已知S△BDE∶S△CDE=1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为（ ）
A．1∶3 B．1∶4 C．1∶9 D．1∶16
3、某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高(如图所示)。已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)
0
恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30，在C处测得电线杆
00
顶端A得仰角为45，斜坡与地面成60角，CD=4m，则电线杆的高(AB)是（ ）
A b≤0 B b≤? A．(4?43)m B．(43?4)m C．(6?23)m D．12m 4、如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=3．点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当经过（ ）秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点。 A． B．
53142 C． D． 233
(第2题图) (第3题图) (第4题图)
5、如图，在反比例函数y??
2的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于xk
点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y?的图
x
象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6、如图，O是等边三角形ABC内一点，且OA=3，OB=4，OC=5．将线段OB绕点B逆时针
00
旋转60得到线段O′B，则下列结论：①△AO′B可以由△COB绕点B逆时针旋转60得
到；②∠AOB=150；③S四边形AOBO'?6?33；④S△AOB?S△AOC?6?（ ）
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0
93。其中正确的是4.
A.②③④ B.①②④ C.①④ D.①②③
AO'OB
(第5题图) (第6题图)
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 7、已知方程组?8、一次函数y?C
?x?2y?4k，且?1?x?y??，则k的取值范围是 。
?2x?y?2k?144x?b与y?x?1的图象之间的距离等于3，则b的值是 。 330
9、如图，△ABC中，∠ACB=90，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发 s时，△BCP为等腰三角形。
2x?m10、已知关于x的方程?3的解为正数，则m的取值范围 。
x?211、如图，AC⊥BC于点C，BC=4，AB=5，⊙O与直线AB、 BC、CA都相切，则⊙O的半径等于 。
12、如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A
3x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1O2的位置，使点33O1的对应点O2落在直线y?x上，依次进行下去…，若点A的坐标是(0,1)，点B的坐
3标是(3,1)，则点A8的横坐标是 。
的对应点A1落在直线y?AOC
(第9题图) (第11题图) (第12题图)
B
三、解答题（本大题共3小题，满分40分）
0
13、(本题共12分) 如图，在△ABC中，∠C=90，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F。
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(1)若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；
(2)连接OE、ED、DF、EF，若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由。
CEDAOFB
14、(本题共14分) (1)已知：△ABC是等腰三角形，其底边是BC，点D在线段AB上，E
0
是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE，若∠A=60(如图①)，求证：EB=AD；
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变(如图②)，(1)的结论是否成立，并说明理由；
EB00
(3)若将(1)中的“若∠A=60”改为“若∠A=90”，其它条件不变，则的值是多少？
AD(直接写出结论，不要求写解答过程)
2
15、(本题共14分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax-x+3(a≠0)交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2。 (1)求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)若点P(0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=t?S，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
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自主招生数学试题及答案
