第十六章 多元函数的极限与连续
一、 判断题。 1.
R与?2是既开又闭的点集。
2. 开集一定是开域。
3. 函数的全增量并不等于相应的两个偏增量之和。 4. 若
ff为区域D上连续函数，则
f?D?必定是一个区间（有限或
f无限）。 5. 若数。
二、 填空题。 6.
若二重极限：
在D上任何点都关于集合D连续，则称
为D上的连续函
limf?x,y??Ax0y?y0x? （1） ；
累次极限：
limlimf?x,y??m
y?（2），
y0x?x0limlimf?x,y??k （3）则可得：
x?x0y?y0a. m=k?A存在 ； b．m?k?A不存在 ；
c. (1)、(2)、(3)存在，则A=m=k ;
d. (1)和(2)或者(1)和(3)存在?A=m=k 。（在横线上填“对”或“错”）
7. 一元函数的定义域是 上的点集；二元函数的定义域是
上的点集；
8. 内点是 点；界点是 点；孤立点一定是 点；既不是聚点，又不是孤立点，则必为 点。 9. 设E1?D,p0是E1的聚点，若limfp?p0p?E1?p? ，则limf?p?p?p?Dp0也不存在。
10. 默写一元函数和二元函数的“???”定义：
一元函数： ； 二元函数： ；
三、 解答题。 11. 讨论
f?x,y??xyx?y22当??x,y?????2?0,0?时是否存在极限。
212. 依定义验证lim??x?xy??x,y???2,1????7 y??13. 求函数
1lim????2x?yx,y?0,0的极限
14. 讨论函数
f?x,y??????????y222x?y在点（0,0）的重极限与累次极限。
15. 设
f?x,y??x,x?y?022?（p>0），试讨论它在（0,0）yx0,x?y?0?22p22点处的连续性。
答案
一、 判断题。
1. （√）； 2.（×）； 3.（√）； 4.（√）； 5.（√）。 二、 填空题。 6. 错；对；对；对； 7. 实数轴；坐标平面； 8. 聚；聚；界；外； 9. 不存在
10. 一元函数的“???”定义：??>0,??>0,?x:0?｜x?x0｜??,有｜
f?x??A｜??；
二元函数的“???”定义：??>0,??>0,?p?D:0?｜P?P0｜??,有｜
f?P??A｜??；
y?mx222三、 解答题。
11. 解：当动点（x,y）沿着直线
而趋于定点（0,0）时，
，则
f?x,y??f?x,mx??mx?mx?mx1?m22limf?x,y??limf?x,mx??????x,y?0,0y?mxx?0m1?m2，
由于m是一个不定值，则它所对应的极限值就不同， 因此
的极限不存在。 ??fx,ylim????x,y?0,012. 证明：???o，要使∣x2?xy?y∣??成立
而∣x?xy?y∣=∣x?4?xy?2y?2y?2?y?1∣
22222=∣
?x?2??x?2??y?x?2??2?y?1???y?1??y?1?∣
数学分析第十六章
