1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1) limxcot2x?＿＿＿＿＿＿.
x?0(2)
??0tsintdt?＿＿＿＿＿＿.
(3) 曲线y??x0(t?1)(t?2)dt在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.
(4) 设f(x)?x(x?1)(x?2)?L?(x?n),则f?(0)?＿＿＿＿＿＿. (5) 设f(x)是连续函数,且f(x)?x?2?10f(t)dt,则f(x)?＿＿＿＿＿＿.
?a?bx2,x?0?(6) 设f(x)??sinbx在x?0处连续,则常数a与b应满足的关系是＿＿＿＿＿.
,x?0??x(7) 设tany?x?y,则dy?＿＿＿＿＿＿.
二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知y?arcsine?(2) 求
x,求y?.
dx?xln2x.
1xx?0(3) 求lim(2sinx?cosx).
?x?ln(1?t2),dyd2y(4) 已知?求及2.
dxdx?y?arctant,(5) 已知f(2)?211,f?(2)?0及?f(x)dx?1,求?x2f??(2x)dx.
002
三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把
所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设x?0时,曲线y?xsin1 ( ) x(A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线
(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线
(2) 若3a?5b?0,则方程x?2ax?3bx?4c?0 ( )
253(A) 无实根 (B) 有唯一实根 (C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线y?cosx(??2?x??2)与x轴所围成的图形,绕x轴旋转一周所成的旋转体的体
积为 ( )
?2?2(A) (B) ? (C) (D) ?
22(4) 设两函数f(x)及g(x)都在x?a处取得极大值,则函数F(x)?f(x)g(x)在x?a处
( )
(A) 必取极大值 (B) 必取极小值
(C) 不可能取极值 (D) 是否取极值不能确定
(5) 微分方程y???y?e?1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数) ( )
(A) ae?b (B) axe?b (C) ae?bx (D) axe?bx (6) 设f(x)在x?a的某个领域内有定义,则f(x)在x?a处可导的一个充分条件是( )
xxxxx1h???hf(a?2h)?f(a?h)(B) lim存在
h?0hf(a?h)?f(a?h)(C) lim存在
h?02hf(a)?f(a?h)(D) lim存在
h?0h(A) limh[f(a?)?f(a)]存在
四、(本题满分6分)
求微分方程xy??(1?x)y?e
五、(本题满分7分)
设f(x)?sinx?
六、(本题满分7分)
证明方程lnx?2x(0?x???)满足y(1)?0的解.
?x0(x?t)f(t)dt,其中f为连续函数,求f(x).
x???1?cos2xdx在区间(0,??)内有且仅有两个不同实根. e0
七、(本大题满分11分)
对函数y?
x?1,填写下表： x2单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹(U)区间 凸(I)区间 拐点 渐近线
八、(本题满分10分)
设抛物线y?ax?bx?c过原点,当0?x?1时,y?0,又已知该抛物线与x轴及直线
21x?1所围图形的面积为,试确定a,b,c使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V3最小.
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(每小题3分,满分21分.) (1)【答案】
1 2【解析】这是个0??型未定式,可将其等价变换成方法一： limxcot2x?limx0型,从而利用洛必达法则进行求解. 0cos2xx?lim?cos2x
x?0x?0sin2xx?0sin2xx11?lim洛lim?. x?0sin2xx?02cos2x2cos2x方法二： limxcot2x?limx
x?0x?0sin2x12x12x1?lim?cos2x?lim?. 2x?0sin2x2x?0sin2x2sinxsinx【相关知识点】lim是两个重要极限中的一个,lim?1.
x?0x?0xx(2)【答案】?
【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,
??0tsintdt???0td(?cost)??分部法??tcost?0??(?cost)dt
0?????0??sint?0???(0?0)??.
(3)【答案】y?2x
【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即f?(x0). 这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即y??(x?1)(x?2). 由y?在其定义域内的连续性,可知y?x?0?(0?1)(0?2)?2.
所以,所求切线方程为y?0?2(x?0),即y?2x. (4)【答案】n!
【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即
f?(0)?limx?0f(x)?f(0)x(x?1)(x?2)?L?(x?n)?0?lim x?0xx?lim(x?1)(x?2)?L?(x?n)?1?2?L?n?n!.
x?0方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,
f?(x)?(x?1)(x?2)?L?(x?n)?x?1?(x?2)?L?(x?n)?L? x(x?1)(x?2)?L?(x?n?1)?1,
所以 f?(0)?(0?1)(0?2)?L?(0?n)?0?L?0?1?2?L?n?n!. (5)【答案】x?1
【解析】由定积分的性质可知,
?10f(t)dt和变量没有关系,且f(x)是连续函数,故
?10f(t)dt为一常数,为简化计算和防止混淆,
令
?10f(t)dt?a,则有恒等式f(x)?x?2a,两边0到1积分得
?1110f(x)dx??(x?2a)dx,
0111?12?即 a??(x?2a)dx??xdx?2a?dx??x??2a?x?0??2a,
0002?2?0111,因此f(x)?x?2a?x?1. 2(6)【答案】a?b
解之得a??【解析】如果函数在x0处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等, 由函数连续性可知f?(0)?f(0)?a?b?0?a. 而 f?(0)?lim?x?0sinbxsinbxsinbx?lim?b?b?lim?b, x?0?x?0?xbxbx如果f(x)在x?0处连续,必有f?(0)?f?(0),即a?b. (7)【答案】
dx 2(x?y)2【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得secy?dy?dx?dy, 所以 dy?dxdxdx??,(x?y?0).
sec2y?1tan2y(x?y)2
二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1)【解析】令u?e?x,v??x,则y?arcsine?x?arcsinu,由复合函数求导法则,
11?u2?ev??1, 2xy??(arcsinu)??11?u2?u??11?u2?ev?v??即 y??11?e?2x?e?x??1. 2x【相关知识点】复合函数求导法则：y??(f(x))的导数y????(f(x))f?(x).
1989考研数二真题及解析
