仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率，可以发现它们彼此的关系很简单：do～re、re～mi、fa～so、so～la、la～si 之间的频率比都是9:8，这个比例被称为全音（tone）；mi～fa、si～do 之间的频率比都是256:243，这个比例被称为半音（semitone）。
“五度相生律”产生的7声音阶，自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。前面说过，如果按住弦的1/5点或者1/6点，得到的音已经和主音不怎么和谐了，现在居然出现了81/64和243/128这样的比例，这不会太好听吧？于是有人开始对这7个音的频率做点调整，于是就出现了“纯律”（just intonation）。
“纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来，也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同（今意大利南部的塔兰托城）的亚理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）。（东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。）此人是亚理士多德的学生，约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵，而不是靠数学来主导音乐。他的书籍现在留下来的只有残篇，不过可以证实的是他最先提出了所谓“自然音阶”。
自然音阶也有7个音，但和“五度相生律”的7声音阶有不小差别。7个自然音阶的频率分别是：F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。确实简单多了吧？也确实好听多了。这么简单的比例，就是“纯律”。
可以看出“纯律”不光用到了3/2的比例，还用到了5/4的比例。新的7个频率中和原来不同的就是5/4F、5/3（＝5/4×4/3）F、15/8（＝5/4×3/2）F。
虽然“纯律”的7声音阶比“五度相生律”的7声音阶要好听，数学上也简单，但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了，但各音之间的关系变复杂了。原来“五度相生律”7声音阶之间只有“全音”和“半音”2种比例关系，现在则出现了3种：9:8（被叫做“大全音”，major tone，就是原来的“全音”）、10:9（被叫做“小全音”，minor tone）、16:15（新的“半音”）。各位把自然音阶的频率互相除一下就能得到这个结果。更进一步说，如果比较自然音阶中的re和fa，其频率比是27/32，这也不怎么简单，也不怎么好听呢！所以说“纯律”对“五度相生律”的修正是不彻底的。事实上，“纯律”远没有“五度相生律”流行。
对于“五度相生律”的另一种修正是从另一个方向展开的。还记得为什么要取7个音符吗？是因为（3/2）5≈，和23＝8很接近。可这毕竟是近似值，而不是完全相等。在一个八度之内，这么小的差距也许没什么，但是如果乐器的音域跨越了好几个八度，那么这种近似就显得不怎么好了。于是人们开始寻找更好的
近似值。
通过计算，古人发现（3/2）12≈，和27＝128很接近，于是他们把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次，便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和4/3F，现在就有了12个音符。
注意，现在的“规范”音阶不是do、re、mi……等7个音符了，而是12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶，其频率分别是：F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。
和前面的“五度相生律”的7声音阶对比一下，可以发现原来的7个音都还在，只是多了5个，分别插在它们之间。用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是C、D、E、F、G、A、B。新多出来的5个音符于是被叫做C#（读做“升C”）、D#、F#、G#、A#。12音阶现在不能用do、re、mi的叫法了，应该被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相邻两个音符的频率互相除一下，就会发现它们之间的比例只有两种：256:243（就是原来的“半音”，也叫做“自然半音”），2187:2048（这被叫做“变化半音”）。
也就是说，这12个音符几乎可以说又构成了一个“等差音高序列”。它们之间的“距离”几乎是相等的。（当然，如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话，就是严格的“距离”相等了。）原来的7声音阶中，C～D、D～E、F～G、G～A、A～B之间都相隔一个“全音”，现在则认为它们之间相隔了两个“半音”。这也就是“全”、“半”这种叫法的根据。
既然C#被认为是从C“升”了半音得到的，那么C#也可以被认为是从D“降”了半音得到的，所以C#和Db（读做“降D”）就被认为是等价的。事实上，5个新加入的音符也可以被写做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。
这种12声音阶在音乐界的地位，我只用举一个例子就能说明了。钢琴上的所有白键对应的就是原来7声音阶中的C、D……B，所有的黑键对应的就是12声音阶中新加入的C#、Eb……Bb。
从7声音阶发展到12声音阶的做法，在西方和东方都出现得很早。《管子》中实际上已经提出了12声音阶，后来的中国音律也大多是以“五度相生律”的12声音阶为主。毕达哥拉斯学派也有提出这12声音阶的。不过西方要到中世纪晚期才重新发现它们。
能不能把“五度相生律”的12声音阶再往前发展一下呢？可以的。12声音阶的依据就是（3/2）12≈，和27＝128很接近，按照这个思路，继续找接近的
值就可以了嘛。
还有人真地找到了，此人就是我国西汉的着名学者京房（77 BC－47 BC）。他发现（3/2）53≈×109，和231≈×109也很接近，于是提出了一个53音阶的新音律。要知道古人并没有我们现在的计算器，计算这样的高次幂问题对他们来说是相当麻烦的。
当然，京房的新律并没有流行开，原因就是53个音阶也太麻烦了吧！开始学音乐的时候要记住这么多音符，谁还会有兴趣哦！但是这种努力是值得肯定的，也说明12声音阶也不完美，也确实需要改进。
“五度相生律”的12声音阶中的主要问题是，相邻音符的频率比例有两种（自然半音和变化半音），而不是一种。而且两种半音彼此差距还不小。（2187:2048）/（256:243）≈。好像差不多哦？但其实自然半音本身就是256:243≈了。
如果12声音阶是真正的“等差音高序列”的话，每个半音就应该是相等的，各个音阶就应该是“等距离”的。也就是说，真正的12声音阶可以把一个八度“等分”成12份。为什么这么强调“等分”、“等距离”呢？因为在音乐的发展过程中，人们越来越觉得有“转调”的必要了。
所谓转调，其实就是用不同的音高来唱同一个旋律。比方说，如果某一个人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），乐器为了给他伴奏，得在C～高音C之内弹奏旋律；如果另一个人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），乐器得在D～高音D之内弹奏旋律。可是“五度相生律”的12声音阶根本不是“等差音高序列”，人们会觉得C～高音C之内的旋律和D～高音D之内的旋律不一样。特别是如果旋律涉及到比较多的半音，这种不和谐就会很明显。可以说，如果现在的钢琴是按“五度相生律”来决定各键的音高，那么只要旋律中涉及到许多黑键，弹出来的效果就会一塌糊涂。
这种问题在弦乐器上比较好解决，因为弦乐器的音高是靠手指的按压来决定的。演奏者可以根据不同的音域、旋律的要求，有意地不在规定的指位上按弦，而是偏移一点按弦，就能解决问题。可是键盘乐器（比如钢琴、管风琴、羽管键琴等）的音高是固定的，无法临时调整。所以在西方中世纪的音乐理论里，就规定了有些调、有些音是不能用的，有些旋律是不能写的。而有些教堂的管风琴，为了应付可能出现的各种情况，就预先准备下许多额外的发音管。以至于有的管风琴的发音管有几百甚至上万根之多。这种音律规则上的缺陷，导致一方面作曲家觉得受到了限制，一方面演奏家也觉得演奏起来太麻烦。
问题的根源还是出在近似值上。“五度相生律”所依据的（3/2）12毕竟和
27并不完全相等。之所以会出现两种半音，就是这个近似值造成的
对“五度相生律”12声音阶的进一步修改，东、西方也大致遵循了相似的路线。比如东晋的何承天（370 AD－447 AD），他的做法是把（3/2）12和27之间的差距分成12份，累加地分散到12个音阶上，造成一个等差数列。可惜这只是一种修补工作，并没有从根本上解决问题。西方的做法也是把（3/2）12和27之间的差距分散到其它音符上。但是为了保证主音C和属音G的3/2的比例关系（这个“纯五度”是一个音阶中最重要的和谐，即使是在12声音阶中也是如此），这种分散注定不是平均的，最好的结果也是12音中至少有一个“不在调上”。如果把差距全部分散到12个音阶上的话，就必须破坏C和G之间的“纯五度”，以及C和F之间的4/3比例（术语是“纯四度”）。这样一来，虽然方便了转调，但代价就是音阶再也没有以前好听了。因为一个八度之内最和谐的两个关系――纯五度和纯四度――都被破坏了。
一直到文艺复兴之前，西方音乐界通行的律法叫“平均音调律”（Meantone temperament），就是在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下，把（3/2）12和27之间的差距尽量分配到12个音上去。这种折衷只是一种无可奈何的妥协，大家其实都在等待新的音律出现。
终于还是有人想到了彻底的解决办法。不就是在一个八度内均分12份吗？直接就把2:1这个比例关系开12次方不就行了？也就是说，真正的半音比例应该是21/12。如果12音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率就是21/12F，第三个音就是22/12F，第四个音是23/12F，……，第十二个是211/12F，第十三个就是212/12F，就是2F，正好是F的八度。
这是“转调”问题的完全解决。有了这个新的音律，从任何一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上，而对旋律不产生影响。西方巴洛克音乐中，复调音乐对于多重声部的偏爱，有了这个新音律之后，可以说不再有任何障碍了。后来的古典主义音乐，也间接地受益匪浅。可以说没有这个新的音律的话，后来古典主义者、浪漫主义者对于各种音乐调性的探索都是不可能的。
这种新的音律就叫“十二平均律”。首先发明它的是一位中国人，叫朱载堉（yù）。他是明朝的一位皇室后代，生于1536年，逝世于1611年。他用珠算开方的办法（珠算开12次方，难度可想而知），首次计算出了十二平均律的正确半音比例，其成就见于所着的《律学新书》一书。很可惜，他的发明，和中国古代其它一些伟大的发明一样，被淹没在历史的尘埃之中了，很少被后人所知。
西方人提出“十二平均律”，大约比朱载堉晚50年左右。不过很快就传播、流行开来了。主要原因是当时西方音乐界对于解决转调问题的迫切要求。当然，
反对“十二平均律”的声音也不少。主要的反对依据就是“十二平均律”破坏了纯五度和纯四度。不过这种破坏程度并不十分明显。
“十二平均律”的12声音阶的频率（近似值）分别是：F（C）、（C#／Db）、（D）、（D#／Eb）、（E）、（F）、（F#／Gb）、（G）、（G#／Ab）、（A）、（A#／Bb）、（B）。
注意，现在所有的半音都一样了，都是21/12，即。以前的自然半音和变化半音的区别没有了。
另外，原来“五度相生律”的12音阶中，C和G的比例是3/2（即纯五度），现在“十二平均律”的12音阶中，C和G的比例是，和纯五度所要求的3/2（）非常接近。原来“五度相生律”的12音阶中，C和F的比例是4/3（即纯四度），现在“十二平均律”的12音阶中，C和F的比例是，和纯四度所要求的4/3（）也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它完美地解决了转调问题，所以后来“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的统治地位。现在的钢琴就是按“十二平均律”来确定各键音高的。现在学生们学习的do、re、mi也是按“十二平均律”修改过的7声音阶。现在如果想听“五度相生律”或者“纯律”的do、re、mi，已经很不容易了。
BTW：现在钢琴的音高标准是按“中央C”（即通常的do）右边的第五个白键（按术语说是A4）的频率来定的。这个A键的频率被确定为440HZ。确定了它，钢琴上其它键的频率都可以按“十二平均律”类推得到。不过在某些国家（比如东欧），也有把这个键的频率定为444HZ的。历史上，这个A键的标准曾经有过很多次变化。比如在1759年，英国剑桥的“三一学院”（Trinity College Cambridge）的管风琴的这个A键，就曾经被定在309HZ。可以想像在这里听到的旋律和我们现在听到的旋律该有怎样大的差别。研究古代音乐家的作品的时候，对于当时音高标准的研究也是很重要的一部分。（关于音高标准在历史上的变化，可以参考这里。）
关于“十二平均律”，最后要提的是所谓“大调”、“小调”的问题。自从“五度相生律”提出12音阶以来，12音阶和原来的7音阶之间的关系一直就被人们所研究。也就是说，在原来的7音阶之外，现在人们可以在12音阶中选取其它的7个音来作为音乐的“标尺”了。这可以给作曲家们以更大的创作自由。
以C～高音C的八度为例，如果我们选择原来的7音阶，即C、D、E、F、G、A、B，这就被称为“大调”（major scale），又因为这个大调的主音是C，所以被称为“C大调”。而如果我们选择C、D、D#（Eb）、F、G、G#（Ab）、A#（Bb），这就被称为“c小调”（C minor scale）。用小写c的原因是表示这是小调。
大调和小调的区别就在于，大调和小调里各音之间的“距离感”不同，以它
们为基础来作曲，给听众的感觉也不相同。这就让作曲家有了用音乐表现不同情绪的机会。
西方中世纪的音乐理论里，曾经提出了8种不同的方法在12音中选7个音作为基准，其中就包含了我们现在谈的大调和小调。当时的音乐理论给予这8种调性（mode）以不同的感情色彩，比如有的被认为是“悲伤的”，有的被认为是“快乐的”，有的被认为是“朝气蓬勃的”等等。这8种调性中有一些现在已经很少用了，现在最流行的是大调和小调这两种。
由于“十二平均律”允许随意转调，这就让作曲家可以更为地自由创作。以前由于各音之间的半音“不等距”的问题，有些调被认为不能写作的，现在也可以毫无阻碍的进行创作了
律制详解 五度相生律 十二平均律 纯律
