1.12 假设理想气体的Cp和CV之比?是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系，该关系式中要用到一个函数F?T?，其表达式为
lnF(T)??dT ??1T??解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足
CVdT?pdV?0. （1）
用物态方程pV?nRT除上式，第一项用nRT除，第二项用pV除，可得
CVdTdV??0. （2） nRTV利用式（1.7.8）和（1.7.9），
Cp?CV?nR,CpCV??,
可将式（2）改定为
1dTdV??0. （3） ??1TV将上式积分，如果?是温度的函数，定义
lnF(T)??1dT, （4） ??1T可得
， （5） lnF(T)?lnV?C1（常量）
或
F(T)V?C（常量）。 （6）
式（6）给出当?是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。
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1.13 利用上题的结果证明：当?为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为??1?T2. T1解：在?是温度的函数的情形下，§1.9就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4）—（1.9.6）仍然成立，即仍有
Q1?RT1lnV2, （1） V1QV32?RT2lnV, 4W?QV21?Q2?RT1lnV?RTV32ln. 1V4根据1.13题式（6），对于§1.9中的准静态绝热过程（二）和（四），有F(T1)V2?F(T2)V3, F(T2)V4?F(T1)V1, 从这两个方程消去F(T1)和F(T2)，得
V2V?V3, 1V4故
W?R(TV21?T2)lnV, 1所以在?是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为
??WTQ?1?2. 1T1
（2） （3）
（4） （5）
（6） （7） （8） 7
1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。
解：假设在p?V图中两条绝热线交于C点，如图所示。设想一等温线与
两条绝热线分别交于A点和B点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA中，系统在等温过程AB中从外界吸取热量Q，而在循环过程中对外做功W，其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后，系统回到原来的状态。根据热力学第一定律，有
W?Q。
这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转变为功了， 这违背了热力学第二定律的开尔文说法，是不可能的。 因此两条绝热线不可能相交。
1.15 热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸收热量的热源中，热源的最高温度为T1，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度 为T2，试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过1?解：根据克劳修斯不等式（式（1.13.4）），有
Qi?0, （1） ?iTiT2. T1式中Qi是热机从温度为Ti的热源吸取的热量（吸热Qi为正，放热Qi为负）。 将热量重新定义，可将式（1）改写为
?TjQjj??kQk?0, （2） Tk式中Qj是热机从热源Tj吸取的热量，Qk是热机在热源Tk放出的热量，Qj，Qk恒
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正。 将式（2）改写为
?TjQjj??kQk. （3） Tk假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为T1，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为T2，必有
Qj1Q?,??jT1jjTjQk1??T2kTk
?Q,kk故由式（3）得
11Qj??T1jT2?Q.
kk （4）
定义Q1??Qj为热机在过程中吸取的总热量，Q2??Qk为热机放出的总热量，则式（4）可表为
jkQ1Q2?, （5） T1T2或
T2Q2?. （6） T1Q1根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为
W?Q1?Q2.
热机的效率为
??QTW?1?2?1?2. （7） QQ1T1
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1.21 物体的初温T1，高于热源的温度T2，有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到T2为止，若热机从物体吸取的热量为Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为
Wmax?Q?T2(S1?S2)
其中S1?S2是物体的熵减少量。
解：以?Sa,?Sb和?Sc分别表示物体、热机和热源在过程前后的熵变。由熵的相加性知，整个系统的熵变为
?S??Sa??Sb??Sc.
由于整个系统与外界是绝热的，熵增加原理要求
?S??Sa??Sb??Sc?0. （1）
以S1,S2分别表示物体在开始和终结状态的熵，则物体的熵变为
?Sa?S2?S1. （2）
热机经历的是循环过程，经循环过程后热机回到初始状态，熵变为零，即
?Sb?0. （3）
以Q表示热机从物体吸取的热量，Q?表示热机在热源放出的热量，W表示热机对外所做的功。 根据热力学第一定律，有
Q?Q??W,
所以热源的熵变为
?Sc?Q?Q?W?. （4） T2T2将式（2）—（4）代入式（1），即有
S2?S1?Q?W?0. （5） T2上式取等号时，热机输出的功最大，故
Wmax?Q?T2?S1?S2?. （6）
式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。
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11热力学统计物理第四版汪志诚 - 答案要点
