第一章 热力学的基本规律
1.1 试求理想气体的体胀系数?,压强系数?和等温压缩系数??。 解：已知理想气体的物态方程为
pV?nRT, （1）
由此易得
??1??V?nR1??, （2） ??V??T?ppVT1??p?nR1??, （3） ??p??T?VpVT???T??????????2??. （4）
V??p?T?V??p?p1??V??1??nRT?1
1.2 证明任何一种具有两个独立参量T,p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数?及等温压缩系数??，根据下述积分求得：
lnV=??αdT?κTdp?
如果??,?T?1T1，试求物态方程。 p解：以T,p为自变量，物质的物态方程为
V?V?T,p?,
其全微分为
??V???V?dV??dT???dp. （1） ???T?p??p?T全式除以V，有
dV1??V?1??V???dT???dp. ?VV??T?pV??p?T根据体胀系数?和等温压缩系数?T的定义，可将上式改写为
dV??dT??Tdp. （2） V
1
上式是以T,p为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有
lnV????dT??Tdp?. （3）
若??,?T?，式（3）可表为
?11?lnV???dT?dp?. （4）
p??T1T1p选择图示的积分路线，从(T0,p0)积分到?T,p0?，再积分到（T,p），相应地体
积由V0最终变到V，有
lnVTp=ln?ln, V0T0p0即
pVp0V0， ??C（常量）
TT0或
pV?1T1pC. T （5）
式（5）就是由所给??,?T?求得的物态方程。 确定常量C需要进一步的实验数据。
2
1.4 在0C和1pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为今使铜块加热至10C。??4.85?10?5K?1和?T?7.8?10?7pn?1.?和?T可近似看作常量，问：
（a）压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变？ （b）若压强增加100pn，铜块的体积改变多少？
a）根据1.2题式（2），有
dV??dT??Tdp. （1） V上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差dV，温度差dT和压强差dp之间的关系。如果系统的体积不变，dp与dT的关系为
dp??dT. （2） ?T在?和?T可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得
p2?p1???T?T?. （3） ?T21将式（2）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。 但是应当强调，只要初态?V,T1?和终态?V,T2?是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。 这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。 本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。 在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。
将所给数据代入，可得
4.85?10?5p2?p1??10?622pn. ?77.8?10因此，将铜块由0C加热到10C，要使铜块体积保持不变，压强要增强622pn
（b）1.2题式（4）可改写为
?V???T2?T1???T?p2?p1?. （4） V1将所给数据代入，有
3
?V?4.85?10?5?10?7.8?10?7?100V1 ?4.07?10?4.因此，将铜块由0C加热至10C，压强由1pn增加100pn，铜块体积将增加原体积的4.07?10?4倍。
1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强p0时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能U与原来在大气中的内能U0之差为U?U0?p0V0，其中V0是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。
解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U与其原来在大气中的内能U0由式（1.5.3）
U?U0?W?Q （1）
确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，Q?0. 过程中外界对系统所做的功可以分为W1和W2两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由V0变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强p0可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。过程中大气对系统所做的功为
W1??p0?V?p0V0.
另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则
W2?0.
因此式（1）可表为
U?U0?p0V0. （2）
如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有
p0V0?nRT, （3）
U0?U?CV(T?T0)?nR(T?T0) （4） ??1式中n是系统所含物质的量。代入式（2）即有
T??T0. （5）
活门是在系统的压强达到p0时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作p0，
4
其物态方程为
p0V?nR?T0. （6）
与式（3）比较，知
V??V0. （7）
1.8 满足pVn?C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量Cn为
C??n?nn?1CV 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量
C???Q???limT?0???T?????U???p???V?n?. n??T?n??T?n对于理想气体，内能U只是温度T的函数，
???U???T???CV, n所以
C?Cp???V?nV???T??. n将多方过程的过程方程式pVn?C与理想气体的物态方程联立，消去压强得
TVn?1?C1（常量）
。 将上式微分，有
Vn?1dT?(n?1)Vn?2TdV?0,
所以
???V???T????V.n(n?1)T 代入式（2），即得
CpVnn?CV?T(n?1)???n?1CV, 其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。
（1） （2）
p可（3） （4） （5） 5
11热力学统计物理第四版汪志诚 - 答案要点
