3、利用极限准则证明： （1）lim1?n??11?1 （2）lim?x[]?1 ；
x?0nx
（3）数列2,
4、试比较当x?0时 ，无穷小2?3?2与x的阶。
xx2?2,2?2?2,?的极限存在 ；
5、求极限
（1）limx(x?1?x) ； （2）lim(2x???x??2x?3x?1) ； 2x?1 （3）lim
tanx?sinx ；
x?0x3ax?bx?cxx)（4）lim(x?03
1(a?0,b?0,c?0) ；
1?,x?0?xsin6、设f(x)?? 要使f(x)在(??,??)内连续， x2??a?x,x?0应当怎样选择数a ？
?x1??1,x?0 求f(x)的间断点，并说明间断点类型。 7、设f(x)??e??ln(1?x),?1?x?0
（C）
1、已知f(x)?ex2、求下列极限：
（1）、lim[cosln(1?x)?coslnx] ；（2）、limx???2,f[?(x)]?1?x ，且?(x)?0 ，求?(x)并写出它的定义域。
x?01?xsinx?cosx ；
x3x2?52x?ax?sin ；（3）、求lim（4）、已知lim()?9 ，求常数a 。
x??5x?3x??x?ax（5）、设f(x)在闭区间[a,b]上连续 ，且f(a)?a,f(b)?b ，
证明：在开区间(a,b)内至少存在一点? ，使f(?)?? 。
第一章 函数与极限 习 题 答 案
（A）
一、填空题 （1）(1,2] （2）(?1,??) （3）[2 ，4]
（4）x2k??x?(2k?1)??,k?z? （5）[?2,;x?0 （8）2 （9）1
2]
（6）-3 （7）x?k?,k?z（10）充分 （11）
13 （12）? （13）x=1 , x=2 （14）高阶 22（15）同阶 （16）二 （17）可去 （18）2 （19）-ln2 （20）y=-2 （21）[?2,1]?(1,2] （22）1 二、计算题
1、（1） (??,?1)?(?1,1)?(1,??)
（2） [0,??) （3）(??,0)?(0,??)
2、（1）不同，定义域不同 （2）不同，定义域、函数关系不同
（3）不同，定义域、函数关系不同 3、（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数
222sinx] 4、（1）y?(sinx) （2）[y?1?x2] （3）[y?e??5、（1）[ 2 ] （2）[] （3）-9 （4）0 （5）2 （6）? （7）0 （8）?22 （9）6、（1）w （2）
2121 22?12?1 （3）1 （4）e （5）e （6）e 5237、（1）2x?x是x?x的低阶无穷小 （2）是同阶无穷小
?0,m?n1?8、（1） （2）?1,m?n
2??,m?n?9、不连续
10、（1）0 （2）1 （3）0 （4）e （5）0 （6）-2 11、a=1
2（B）
1、（1）提示：由0?e?1 解得：x?(??,0] （2）提示：由0?lnx?1解得：x?[1,e]
x2、提示：分成x?o和x?0两段求。f[f(x)]?f(x) ，g[g(x)]?0 ，
f[g(x)]?0 , g[f(x)]?g(x)
4、（1）提示：1?1?11111?1? （2）提示：x(?1)?x[]?x? nnxxx （3）提示：用数学归纳法证明：an?2?2?2
2x?3x?22x?13x?1x??5、提示： 令2?1?t（同阶）
xxx1 （2）提示：除以2x ；e 21 （3）提示：用等阶无穷小代换 ；
26、（1）提示：乘以x2?1?x ；
ax?bx?cxx) （4）提示： (33??xxxxxxa?1?b?1?c?1????a?1?b?1?c?1????????1????3????????ax?1?bx?1?cx?13x1（3abc）
7、提示：limf(x)?limf(x)?f(0) （a?0）
x?0?x?0?8、x?1是第二类间断点 ，x?0是第一类间断点
（C）
1、解：因为f???x???e?2(x)?1?x ，故?(x)?ln(1?x) ，再由ln(1?x)?0 ，
，x?0 。
得：1?x?1 ，即x?0 。所以：?(x)?ln(1?x)1xsinx?sin2x1?xsinx?cos2x2、解：原式=lim=lim?
x?0x(1?xsinx?cosx)x?02x1sinx?lim(x?sinx)=0 x?02x223、解：因为当x??时 ，sin~ ，
xx=
3x2?523x2?526x2?106?sin=lim?=lim则lim=
x??5x?3xx??5x?3xx??5x2?3x5a??1???eax?axx?=?a=e2a 4、解：因为：9=lim()=lim?a?ex???x??x?a?1??x??所以e2ax?9 ，a?ln3
5、证明：令F(x)?f(x)?x ，F(x)在?a,b?上连续 ，且
F(a)?f(a)?a?0 ，F(b)?f(b)?b?0 。由闭区间上连续函数的零点定理 ，在开
区间(a,b)内至少存在一点??(a,b) ，使F(?)?0 ，即f(?)?? 。
函数与极限习题与答案
