2.4.1抛物线及其标准方程教案(人教版选修2-1)

由天下分享时间：2025/1/16 8:51:43 加入收藏我要投稿点赞

2.4.1 抛物线及其标准方程

一、三维目标（一）知识与技能

（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程（二）过程与方法

通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想。（三）情感态度与价值观

进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。二、教学重点

抛物线的定义及标准方程三、教学难点

抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程

1.课题引入

在初中，我们学习了二次函数y?ax2?bx?c，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）y?4x2，（2）y??4x2的图象（展示两个函数图象）：

师：??那么，如果问你怎么样的曲线是抛物线，你可以回答我吗？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。（板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程）

2.抛物线的定义

P64 信息技术应用（课堂中几何画板演示画图过程）

先看一个实验：

如图：点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MH?l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MH|=|MF|，即点M与定点F和定直线l的距离相等。

（演示）

我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

师：对于“直线l经过点F”的情况，我们留到习题课再讨论。

3.抛物线的标准方程

从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点M满足到焦点F的距离与到准线l的距离相等。那么动点M的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？

要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。

探讨建立平面直角坐标系的方案（演示学生最可能想到的三种建系方案）

1 2 3 方案（一）方案（二）方案（三）问题：哪种方案的方程更简单呢？按照方案三的建系方式推导抛物线方程??直接演示方案一和二对应的方程，由学生观察对比得出方案三的方程最简单，方案一二的方程推导可以留作课后思考问题。 1 2 3 2222 2 y?2px?p(p?0) y?2px?p(p?0) y?2px(p?0) 注意：1.标准方程必须出来。 2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算 3.强调P的意义。

4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解?x,y?为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程

（选择标准方程）

师：我们把方程y?2px(p?0)叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是

2p?p?x??，准线方程是。（演示） ,0??2?2?师：上面我们主要研究了抛物线开口向右的情况，那么如果它的开口方向是向左、向上或者

向下，其对应的方程又如何了呢？

（演示下列表格的第一列和第一行）图形标准方程焦点坐标准线方程 y?2px(p?0) 2 p(,0) 2p(?,0) 2px??2 y2??2px(p?0) px?2py??2 x2?2py(p?0) p(0,) 2p(0,?) 2 x2??2py(p?0) py? 2

（学生完成第二行，教师巡视个别辅导。类比椭圆第二种标准方程的推导完成第三和第四行。）

对表格的说明：统观四种情况（学生记忆）（1）p(p?0)表示焦点F到准线l的距离；

（2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。若一次项是x，则对称轴为x轴，焦点

在x轴上；若一次项是y，则对称轴为y轴，焦点在y轴上；（对称轴看一次项）（3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的

系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开口方向） 4.例题讲解

例1（1）已知抛物线的标准方程是y2?6x，求它的焦点坐标和准线方程（2）已知抛物线的焦点是F?0,?2?，求它的标准方程。