多元微分学的基本概念、计算与应用
一、考试内容
（一）多元函数微分学计算法则
1、记忆下述推理框图：
且偏导连续 z可偏导 z可微 方向导数存在（数一）
z连续 2、记忆二元函数的偏导数定义：
y?y0f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)f(0,x)?f(0,0),fy(0,0)?lim?lim；
x?0y?0x?0xyxf(x0?h,y)?f(x0,y)f(x,y0?h)?f(x,y0)； fx(x0,y)?lim,fy(x0,y)?limh?0y?0hhf(x0?mh,y0)?f(x0?nh,y0)fx(x0,y0)?a?lim?(m?n)a，对fy(x0,y0)?a类似；
h?0hlimfx(x0,y)?fx(x0,y0)?fx(x0,y)在y=y0处连续，对fy(x,y0)在x=x0处连续类似； fx(0,0)?limy?y0limfx(x,y)?fx(x,y0)?fx(x,y)在y=y0处连续，对fy(x,y)在x=x0处连续类似； limfx(y)(x,y)?fx(y)(x0,y0)?fx(y)(x,y)在(x0,y0)处连续.
(x,y)?(x0,y0)3、记忆多元复合函数的求导法： ，则全导数z?f[u(x),v(x)] dz?zdu?zdv????，或z'(x)?u'(x)fu?v'(x)fv. dx?udx?vdx，则zx?u'(x)fu?vxfv，zy?vyfv. z?f[u(x),v(x,y)] ，则zx?uxfu?vxfv，zy?uyfu?vyfv. z?f[u(x,y),v(x,y)] zxx?ux(fu)x?vx(fv)x?uxxfu?vxxfv?ux(uxfuu?vxfuv)?vx(uxfvu?vxfvv)?uxxfu?vxxfvfuv?fvu?2222uxfuu?2uxvxfuv?vxfvv?uxxfu?vxxfv;zyy?uyfuu?2uyvyfuv?vyfvv?uyyfu?vyyfv
zxy?uxuyfuu?(uxvy?vxuy)fuv?vxvyfvv?uxyfu?vxyfv?zyx.
4、隐函数的求导法（两端求导法与公式法）： 公式法1：F(x,y)?0，若Fy?0，则存在y?y(x)，且y'(x)??FxFy.
公式法2：F(x,y,z)?0，若Fz?0，则存在z?z(x,y)，且zx??FxFz，zy??FyFz. 若F(x,y,z)?0确定x?x(y,z),y?y(x,z),z?z(x,y)，则xy?yz?zx??1. 5、记忆多元函数高阶混合偏导数的求导法：
若多元函数高阶混合偏导数连续，则其结果与求导次序无关. 6、记忆多元函数的求微法：
(?x)?(?y)u?u(x,y,z)可微，则du?uxdx?uydy?uzdz.
z?z(x,y)满足lim?z?(zx?x?zy?y)22?x?0?y?0?0，则dz?zxdx?zydy，且有?z?dz.
z?f[u(x,y),v(x,y)] 可微，则dz?zudu?zvdv?zxdx?zydy.
?Fxdx?Fydy?Fzdz?0?F(x,y,z)?0?y?y(x)可微，且确定，则由计算y'(x),z'(x). ????G(x,y,z)?0?z?z(x)?Gxdx?Gydy?Gzdz?0（二）多元函数的极值与最值问题
1、极值的必要条件和极值的充分条件
必要条件设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则有
?? fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0.
?充分条件?设函数z?f(x,y)在点(x,y)的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导
00数，又fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0,令fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C 则z?f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：
（1）AC?B?0时具有极值，且当A?0时有极大值，当A?0时有极小值； （2）AC?B?0时没有极值；
（3）AC?B?0时可能有极值也可能没有极值，还需另外讨论. 2、多元函数的极大值、极小值.
求z?f(x,y)的极值的一般步骤为：
第一步 解方程组fx(x,y)?0,fy(x,y)?0, 求出f(x,y)的所有驻点；
第二步 求出函数f(x,y)的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、 B、 C的值，并根据AC?B2的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数f(x,y)在极值点处的极值. 3、条件极值
解条件极值途径是将条件极值问题转化为无条件极值问题.
一般有三个方法：一是降元法；二是升元法--拉格朗日乘数法；三是几何法.
降元法是解决条件极值问题最彻底的方法，它可使得原目标函数降元，变成一（二）元函数，得到驻点后，利用极值的充分条件进行判定，但有时降元无法实现，也会出现降元后的目标函数变得非常繁琐.
对升元法--拉格朗日乘数法，一般有以下两种情况：
（1） 在条件?(x,y)?0（?(x,y,z)?0）下, 求目标函数u?f(x,y)（u?f(x,y,z)） 的极值. 引进拉格朗日函数
L(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)（L(x,y,z,?)?f(x,y,z)???(x,y,z)）
222它将有约束条件的极值问题化为无条件的极值问题.求解时，一般先利用Lx=Ly=Lz=0消去
,z）（,z）)?0联立求解.若得到唯一驻点，则根据实际情的关系，在与?(x,y?，得到x,y（况判断其极值性；若得到几个驻点，则根据其相应的函数值大小判断其极值性.
（2） 在条件?(x,y,z)?0和?(x,y,z)?0下，求目标函数u?f(x,y,z)的极值， 则引 进拉格朗日函数 L(x,y,z,?)?f(x,y,z)???(x,y,z)???(x,y,z)?0.
用几何法时需记忆一些平面（空间（数一））解析几何的公式，如： （1）点M0(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0距离公式d1?（2）点M0(x0,y0,z0)到直线
Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222.
x?x1y?y1z?z1??的距离公式d2?M0M1?Smnp（3）求点M0(x0,y0,z0)到曲面F(x,y,z)?0的距离,需用到曲面的切平面公式.
S.
4、多元函数的最大值与最小值（闭区域上的连续函数一定取得最大值和最小值）
求函数f(x,y)的最大值和最小值的一般步骤为： 第一步 求函数f(x,y)在D内所有驻点处的函数值； 第二步 求f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值； 第三步 将前两步得到的函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 注：在证明不等式A?估值定理联合考虑.
??f(x,y)d??B的问题时，需将f(x,y)在D上的最值问题与积分
D（三）特殊曲面（数一）
x2y2??z?a（,pq?0）1、平面的方程为Ax?By?Cz?D?0， 抛物面方程为. 2p2qx2y2z22、 球面方程为(x?x0)?(y?y0)?(z?z0)?R,椭球面方程为2?2?2?1.
abc22223、锥面方程为az?(x?y),其中锥面的半顶角为arctana.
2222?F(y,z)?0，绕z轴旋转生成的旋转曲面方程为F(?x2?y2,z)?0.
?x?0?F(x,y,z)?05、空间曲线?:?关于xoy面的投影柱面方程为H(x,y)?0(消z).
G(x,y,z)?0?4、 对?（四）空间切向量与法向量（数一）
?x?x(t)?1、空间曲线?:?y?y(t)过相应于t?t0点处的切向量为s?(x'(t0),y'(t0),z'(t0))，
?z?z(t)?切线方程为
x?x(t0)y?y(t0)z?z(t0)??，
x'(t0)y'(t0)z'(t0)有向曲线元ds?(dx,dy,dz)?e?ds，e??(cos?,cos?,cos?)是与?同向的单位向量，
ds?x'2(t)?y'2(t)?z'2(t)为弧长元素.（数二需掌握平面弧长元素）
?F(x,y,z)?02、 ?过其上点M(x0,y0,z0)处的切向量为s?(Fx,Fy,Fz)0?(Gx,Gy,Gz)0.
?G(x,y,z)?03、曲面F(x,y,z)?0过其上点M(x0,y0,z0)处的法向量为n?(Fx,Fy,Fz)0， 切平面方程为Fx(x0,y0,z0)(x?x0)?Fy(x0,y0,z0)(y?y0)?Fz(x0,y0,z0)(z?z0)?0. 注：数二需掌握平面曲线F(x,y)?0上点M(x0,y0)处的法向量为n?(Fx,Fy)0. 4、曲面?:z?f(x,y)过相应于(x0,y0)点处的法向量为n?(fx(x0,y0),fy(x0,y0),?1)， 有向曲面元dS?(dydz,dzdx,dxdy)?endS，en?(cos?,cos?,cos?)是与?同侧的单位
n?k1向量，曲面面积元素dS?d??d??cos?n?kfx2?fy2?1d? .
（五）方向导数与梯度（数一）
1、记忆方向导数与梯度的计算公式：
z?f(x,y)在P点处的梯度为gradf?fxi?fyj?(fx,fy)，
z?f(x,y)在P点处沿方向l的方向导数为?f?l?gradf?el，
el?(cos?,cos?)?(cos?,sin?)，?,?为l的方向角，?为x轴到l的转角，
?f?l是gradf在l上的投影，在P处沿梯度方向的?f?l达到最大值gradf.
注：z?f(x,y)在P(x,y)处的全微分dz?(fx,fy)?(dx,dy)?gradf?ds
u?f(x,y,z)在P(x,y,z)处沿方向l的方向导数为?f?l?gradf(x,y,z)?el ?(fx,fy,fz)(cos?,cos?,cos?)，其沿梯度方向的?f?l达到最大值gradf(x,y,z).
多元微分学的基本概念计算与应用全程版高等数学竞赛知识汇总
