由正弦定理，结合bsinA?asinC，c?1，可求出b；由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值. 【详解】
因为bsinA?asinC，所以由正弦定理可得ba?ac，所以b?c?1;
111bcsinA?sinA?，当sinA?1，即A?90?时，三角形面积最大. 2221故答案为(1). 1 (2).
2所以S?ABC?【点睛】
本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型. 15．已知函数f?x??x?4x?4.若
2f?x??1在区间?m?1,?2m?上恒成立.则实数m的取值范围是
__________． 【答案】?0,? 【解析】 【分析】 首先解不等式
?1??3?f?x??1，再由f?x??1在区间?m?1,?2m?上恒成立，即?m?1,?2m????1,5?得到不等
组，解得即可. 【详解】
解：Qf?x??x?4x?4且
2f?x??1，即x2?4x?4?1解得?1?x?5，即x???1,5?
因为
f?x??1在区间?m?1,?2m?上恒成立，??m?1,?2m????1,5?
??1?m?1?1?1???m?1??2m解得0?x?即x??0,?
3?3???2m?5?故答案为：?0,? 【点睛】
本题考查一元二次不等式及函数的综合问题，属于基础题.
?1??3?1??16．?x?2??2x??的展开式中所有项的系数和为______，常数项为______. x??26【答案】3 -260 【解析】 【分析】
11??(1)令x?1求得所有项的系数和； (2)先求出?2x??展开式中的常数项与含2的系数，再求xx??61??x?22x?????展开式中的常数项.
x??26【详解】
1??将x?1代入?x?2??2x??，得所有项的系数和为3.
x??2611?60?1?2?4因为的展开式中含2的项为C62x?????2，?2x??的展开式中含常数项?xxx??x??461?1??32，所以C6???160x?22x??2x????????的展开式中的常数项为60?320??260.
x??x??336故答案为：3； -260 【点睛】
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知函数f(x)?|x?a|?|x?b|，(其中a?0，b?0). （1）求函数f(x)的最小值M.
（2）若2c?M，求证：c?c2?ab?a?c?c2?ab. 【答案】（1）a?b.（2）答案见解析 【解析】 【分析】
（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M； （2）利用分析法，只需证明|a?c|?【详解】
（1）f(x)?|x?a|?|x?b|…|(x?a)?(x?b)|?|a?b|?a?b，当且仅当(x?a)(x?b)?0时取等号，∴f(x)的最小值M?a?b； （2）证明：依题意，2c?a?b?0，
要证c?c2?ab?a?c?c2?ab，即证|a?c|?222c2?ab，即证a?2ac?c?c?ab，即证
c2?ab，两边平方后结合2 c?a?b, a?0即可得证.
a2?2ac?ab?0，即证a(a?2c?b)?0，又2 c?a?b, a?0可知，a(a?2c?b)?0成立，故原不
等式成立. 【点睛】
本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因
的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．
x2y218．已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1，B2，F为
abuuuuruuuur1其右焦点，B1A，且该椭圆的离心率为； ?BF?1112（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点A1作斜率为k的直线l交椭圆C于x轴上方的点P，交直线x?4于点D，直线A2D与椭圆Cuuuruuuur 的另一个交点为G，直线OG与直线A1D交于点H．若A1P??A1H，求?取值范围．
5x2y2【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）??(，3)． ??1；
343【解析】 【分析】
uuuuruuuuruuuuruuuur（Ⅰ）由题意可得B1A1，B1F的坐标，结合椭圆离心率，B1A1gB1F?1及隐含条件列式求得a，b的值，
则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线A1D:y?k(x?2)，求得D的坐标，再设直线A2D:y?3k(x?2)，求出点
uuuruuuurG的坐标，写出OG的方程，联立OG与A1D，可求出H的坐标，由A1P??A1H，可得?关于k的函
数式，由单调性可得?取值范围． 【详解】
（Ⅰ）A1(?a,0)，B1(0,b)，F(c,0)， uuuuruuuurB1A1?(?a,?b)，B1F?(c,?b)，
uuuuruuuurc1由B1A1gB1F?1，得b2?ac?1，又?，a2?b2?c2，
a2解得：a?2，b?3，c?1．
x2y2?椭圆C的标准方程为??1；
43（Ⅱ）设直线A1D:y?k(x?2)(k?0)，则与直线x?4的交点D(4,6k)， 又A2(2,0)，?设直线A2D:y?3k(x?2)，
?y?3k(x?2)?联立?x2y2，消y可得(1?12k2)x2?48k2x?48k2?4?0．
?1??3?4?12k24k2?2)解得G(，2， 21?12k1?12k?y?k(x?2)?212k6?8k22) 联立?x，得P(，y2，23?4k3?4k?1??3?4直线OG:y??6kx，
12k2?1?6k?x?y?12k?24k2?22)， 联立?，12k?1，解得H(2212k?512k?5??y?k(x?2)uuuruuuurQA1P??A1H，
?(xP?2，yP)??(xH?2，yH)， ?yP??yH，
yP12k2?512k2?9?44???3????， yH3?4k24k2?34k2?3函数f(k)?3?4在(0,??)上单调递增， 24k?35???f(k)?(，3)．
3【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力．
19．在?ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，b?13. （1）若3sinC?4sinA，求c的值； （2）求a?c的最大值. 【答案】 (1)c?4；(2)213． 【解析】 【分析】 【详解】
(1) 由角A,B,C的度数成等差数列，得2B?A?C.
又A?B?C??,?B??3.
由正弦定理，得3c?4a,即a?3c. 423c1?3c?由余弦定理，得b2?a2?c2?2accosB,即13????c2?2??c?，解得c?4. 42?4?acb13213213213????,?a?sinA,c?sinC.(2) 由正弦定理，得sinAsinCsinB 33332?a?c?213213213???????sinA?sinA?B?sinA?sinA??sinA?sinC??????? ???3??333???213?33????sinA?sincosA?213sinA?????. ??2263????由0?A?所以当A?2???5?. ，得?A??3666?6??2，即A??3时，?a?c?max?213.
【方法点睛】
解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等． 20．已知函数f?x??xlnx?x，g?x??2x. xe（1）若不等式f?x?g?x??ax对x??1,???恒成立，求a的最小值； （2）证明：f?x??1?x?g?x?.
??f?x??x,1?x?x0,（3）设方程f?x??g?x??x的实根为x0.令F?x???若存在x1，x2??1,???，
gx,x?x,?0???x1?x2，使得F?x1??F?x2?，证明：F?x2??F?2x0?x1?.
【答案】（1）【解析】 【分析】
1（2）证明见解析（3）证明见解析 e（1）由题意可得，结论；
lnx?1lnx?1?akx?，令，利用导数得k?x?在?1,???上单调递减，进而可得??exex
北京市西城区2024-2024学年高考第二次适应性考试数学试题含解析
