课时作业(十三)
1．(2012·广东六校联合体第二次联考)已知函数y＝xlnx，则这个函数在点x＝1处的切线方程是( )
A．y＝2x－2 C．y＝x－1 答案 C
解析 y′＝lnx＋1，∴x＝1时，y′|x＝1＝1， ∵x＝1时，y＝0，∴切线方程为y＝1(x－1)．
32
2．(2012·福州质检)有一机器人的运动方程为s＝t＋(t是时间，s是位移)，则该机
B．y＝2x＋2 D．y＝x＋1
t器人在时刻t＝2时的瞬时速度为( )
A.C.19 415 4
B.D.17 413 4
答案 D
332
解析 ∵s(t)＝t＋，∴s′(t)＝2t－2，
tt313
∴机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为s′(2)＝4－＝.
44
3．(2011·东城区)曲线y＝x在点(1,1)处的切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为( )
A.1 12
1B. 61D. 2
3
1C. 3答案 B
解析 求导得y′＝3x，所以y′＝3x|x＝1＝3，
所以曲线y＝x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，
2
易知三线所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(，0)，(1,0)，(1,1)，
3121
于是三角形的面积为×(1－)×1＝，故选B.
236
4．设曲线y＝A．2
3
22
x＋1
在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( ) x－1
B．－2
用心 爱心 专心 1
1C．－ 2答案 B 解析 因为y′＝
1D. 2
x－1－x－1－2
2＝x－x－
2
，
1
所以曲线在点(3,2)处的切线斜率k切＝y′|x＝3＝－，
2因为－a·k切＝－1，所以a＝－2，故选B.
5．(2012·济宁模拟)设a∈R，函数f(x)＝e－a·e的导函数y＝f′(x)是奇函数，3
若曲线y＝f(x)的一条切线斜率为，则切点的横坐标为( )
2
A.ln 2
2
ln 2B．－ 2D．－ln 2
x－xC．ln 2 答案 C
解析 y＝f′(x)＝e＋a·e3x－x令e－e＝，可得x＝ln2.
2
x－x且函数y＝f′(x)为奇函数．∴f′(0)＝0，∴a＝－1.
6．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0 C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数 答案 C
7．已知函数f(x)＝sinx＋e＋xx2011
，令f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝
f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，则f2012(x)＝( )
A．sinx＋e C．－sinx＋e 答案 A
解析 ∵f1(x)＝f′(x)＝cosx＋e＋2011x2011×2010xx2009
xB. cosx＋e D．－cosx＋e
xxxx2010
，f2(x)＝f′1(x)＝－sinx＋e＋
2008
x，f3(x)＝f′2(x)＝－cosx＋e＋2011×2010×2009x2007
x，f4(x)＝f′3(x)＝
sinx＋e＋2011×2010×2009×2008x，…，∴f2012(x)＝sinx＋e.
x1322
8．下列图像中，有一个是函数f(x)＝x＋ax＋(a－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)
3的图像，则f(－1)＝( )
用心 爱心 专心
2
1A. 37C. 3答案 B
解析 f′(x)＝x＋2ax＋a－1＝(x＋a)－1，
∴y＝f′(x)是开口向上，以x＝－a为对称轴(－a，－1)为顶点的抛物线． ∴(3)是对应y＝f′(x)的图像，
∵由图像知f′(0)＝0，对称轴x＝－a>0. ∴a－1＝0，a<0 ∴a＝－1. 132
∴y＝f(x)＝x－x＋1.
31
∴f(－1)＝－选B.
3
9．(2012·衡水调研)直线y＝kx是曲线y＝sinx的一条切线，则符合条件的一个k的值为________．
答案 1
解析 因为y＝sinx，所以y′＝cosx，当x＝0时，y′＝1，所以y＝kx，k＝1. 10．已知f(x)＝x＋3xf′(2)，则f′(2)＝________. 答案 －2
解析 由题意，得f′(x)＝2x＋3f′(2) ∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2.
11．(原创)曲线y＝x－3x＋2lnx的切线中，斜率最小的切线方程为________． 答案 x－y－3＝0
2
解析 y′＝2x＋－3(x>0)≥222
2
2
2
2
1B．－ 315D．－或
33
x2
2x·－3＝1，
x当且仅当x＝1时成立．
x＝1时，y＝1－3＋0＝－2.
∴切线方程为y＋2＝1·(x－1)．
用心 爱心 专心
3
∴y＝x－3即x－y－3＝0.
1
12．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx的一条切线则实数b＝________.
2答案 ln2－1
11
解析 ∵切线斜率k＝，y′＝，∴x＝2，y＝ln 2.
2x1
∴切线方程为y－ln2＝(x－2)．
21
即y＝x＋ln 2－1，∴b＝ln 2－1.
2
13．(2012·济南统考)点P是曲线x－y－2lnx＝0上任意一点，求点P到直线y＝x－2的最短距离．
答案
2
2
1122
解析 y＝x－2lnx＝x－lnx(x>0)，y′＝2x－，令y′＝1，即2x－＝1，解得xxx1
＝1或x＝－(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：y＝x，其到直线y＝x－2的距离2
2即为所求．
92
14．设有抛物线C：y＝－x＋x－4，通过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一
2象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标． 19
答案 (1) (2)(，－4)
22
解析 (1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1. ①
y1＝－x21＋x1－4. ②
92
①代入②得x1＋(k－)x1＋4＝0.
292
∵P为切点，∴Δ＝(k－)－16＝0，
2171得k＝或k＝. 22
17
当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.
21
当k＝时，x1＝2，y1＝1.
2
用心 爱心 专心
4
92
1
∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝. 2
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5. ③ 将③代入抛物线方程得x－
2
13
x＋9＝0. 2
设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9， 99
∴x2＝，y2＝－4.∴Q点的坐标为(，－4)．
22
15．已知曲线C：y＝x－3x＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0，
3
2
y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．
133答案 y＝－x，(，－) 428
解析 ∵直线过原点，则k＝(x0≠0)． 由点(x0，y0)在曲线C上，则y0＝x0－3x0＋2x0， ∴＝x0－3x0＋2.又y′＝3x－6x＋2，
∴在(x0，y0)处曲线C的切线斜率应为k＝f′(x0)＝3x0－6x0＋2.∴x0－3x0＋2＝3x0－6x0
＋2.
32
整理得2x0－3x0＝0.解得x0＝(x0≠0)．
231
这时，y0＝－，k＝－.
84
133
因此，直线l的方程为y＝－x，切点坐标是(，－)．
428
2
2
2
3
2
y0x0
y0x0
22
1．(2011·江西文)曲线y＝e在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A．1 C．e 答案 A
解析 由题意知y′＝e，故所求切线斜率k＝e|x＝0＝e＝1. 2．(2011·湖南文)曲线y＝1A．－ 2
sinx1π
－在点M(，0)处的切线的斜率为( )
sinx＋cosx24
1
B. 2
xx0
xB．2 1D. e
用心 爱心 专心 5
[高考调研]2013届高考数学一轮复习课时作业（十三） 新人教版
