bsin C直线bx＋sin B·y＋sin C＝0的斜率k2＝－，在y轴上的截距b2＝－，由正弦sin Bsin Bb?abcsin A?
定理＝＝，得k1·k2＝·?－?＝－1，即直线sin A·x－ay－csin Asin Bsin Ca?sin B?
＝0与bx＋sin B·y＋sin C＝0垂直.
方法二 由正弦定理有a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(其中R为△ABC外接圆的半径)，所以bsin
A－asin B＝2Rsin Bsin A－2Rsin Asin B＝0，所以直线sin A·x－ay－c＝0与bx＋sin B·y＋sin C＝0垂直.
1
3.当0＜k＜时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在第________象限.
2答案 二
??kx－y＝k－1，
解析 解方程组?
?ky－x＝2k?
得两直线的交点坐标为?
?k，2k－1?，因为0＜k＜1，?2?k－1k－1?
所以2k－1
＜0，＞0，故交点在第二象限. k－1k－1
k4.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点________. 答案 (0,2)
解析 直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2).
5.从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为__________. 答案 x＋2y－4＝0
1
解析 由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y21
－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以
2反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式得直线方程为x＋2y－4＝0.
6.(教材改编)与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是______________. 答案 12x＋8y－15＝0
3
解析 l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l2315
的方程为3x＋2y＋c＝0，则|c＋6|＝|c＋|，解得c＝－，所以l的方程为12x＋8y－15
24＝0.
7.已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条
直线的距离相等，则a＋b＝________. 8
答案 0或
3
a＋ba－1＝0，??
4|b|解析 由题意得?
＝.22?a－12＋1?a＋－b??a＝2，
解得?
?b＝－2?
2??a＝，
或?3??b＝2
经检验，两种情况均符合题意， 8
∴a＋b的值为0或.
3
π
8.已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；
4若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________. 答案 －1 1 22 解析 若直线l1的倾斜角为
π
，则－a＝k＝tan 45°＝1，故a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋4
1×(－1)＝0，故a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝|1－－3|
＝22.
1＋1
9.已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高
BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程.
解 依题意知：kAC＝－2，A(5,1)， ∴lAC为2x＋y－11＝0，
?2x＋y－11＝0，?
联立lAC、lCM得?
??2x－y－5＝0，
2
∴C(4,3).
设B(x0，y0)，AB的中点M为(
x0＋5y0＋1
，
2
)，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
??2x0－y0－1＝0，
∴?
?x0－2y0－5＝0，?
∴B(－1，－3)，
66
∴kBC＝，∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，
55即6x－5y－9＝0.
10.已知直线l经过直线l1：2x＋y－5＝0与l2：x－2y＝0的交点.
(1)若点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
解 (1)易知l不可能为l2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∵点A(5,0)到l的距离为3， ∴
|10＋5λ－5|2＋λ2
＋1－2λ2
＝3，
12
即2λ－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝，
2∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
??2x＋y－5＝0，(2)由?
??x－2y＝0，
解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤PA(当l⊥PA时等号成立).
∴dmax＝PA＝
5－2
2
＋0－1
2
＝10.
B组 专项能力提升 (时间：30分钟)
11.若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m＋n的最小值是________. 答案 4
解析 因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上， 所以4m＋3n－10＝0.
22
欲求m＋n的最小值可先求而
2
2
m－0
2
＋n－0
2
的最小值，
m－0
2
＋n－0
2
表示4m＋3n－10＝0上的点(m，n)到原点的距离，如图.当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点(m，n)的距离最小为2.所以m＋n的最小值为4.
12.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________.
2
2
答案 6
解析 以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，－2)，C(b,3)，且a<0，b<0.
∵AC⊥AB，
6
∴ab－6＝0，ab＝6，b＝. a122
Rt△ABC的面积S＝a＋4·b＋9
2＝≥
12
a＋4·2
36
21＋9＝ a2
1442
72＋9a＋2 a1
72＋72＝6. 2
1442
当且仅当9a＝2，即a＝－2时，等号成立.
a即△ABC面积的最小值为6.
13.在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________. 答案 (2,4) 解析
[步步高]高考数学一轮复习第九章平面解析几何两条直线的位置关系文
