思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称
??x′＝2a－x，
①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足?
??y′＝2b－y.
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
??
?a＋mb＋n??A·2＋B·2＋C＝0.
n－b?A?·?－?＝－1，m－a?B?
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点
P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后又回到原点P(如图).若光
线QR经过△ABC的重心，则AP＝________.
4答案
3
解析 建立如图所示的坐标系：
可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC的方程为x＋y＝4， △ABC的重心为
?0＋0＋4，0＋4＋0?，设P(a,0)，其中0 a＋xy＋0 ??2＋2＝4， 则点P关于直线BC的对称点P(x，y)，满足?y－0 ??x－a·－1＝－1， 1 ??x＝4， 解得? ?y＝4－a，? 即P1(4,4－a)，易得P关于y轴的对称点P2(－a,0)， 由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线， 4－a－04－a直线QR的斜率为k＝＝， 4－－a4＋a4－a故直线QR的方程为y＝(x＋a)， 4＋a4442 由于直线QR过△ABC的重心(，)，代入化简可得3a－4a＝0，解得a＝，或a＝0(舍去)， 3334?4?故P?，0?，故AP＝. 3?3? 18.妙用直线系求直线方程 一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系. 典例 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程. 思维点拨 因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1). 规范解答 解 依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)， 又因为直线过点(1,2)， 所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11. 因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0. 温馨提醒 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0 (C1≠C)，再由其他条件求C1. 二、垂直直线系 由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系，可以考虑用直线系方程求解. 典例 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程. 思维点拨 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解. 规范解答 解 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0. 温馨提醒 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1. 三、过直线交点的直线系 典例 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程. 思维点拨 可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解. 规范解答 ??x－2y＋4＝0， 解 方法一 解方程组? ?x＋y－2＝0，? 得P(0,2). 34 因为l3的斜率为，且l⊥l3，所以直线l的斜率为－， 434 由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2， 3即4x＋3y－6＝0. 方法二 设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. 又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0， 解得λ＝11. ∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 温馨提醒 本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；方法二则采用了过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与 A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直 线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求解. [方法与技巧] 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2， l1∥l2?k1＝k2；l1⊥l2?k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一 定要特别注意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法. [失误与防范] 1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑. |C1－C2| 2.在运用两平行直线间的距离公式d＝22时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为 A＋B相同的形式. A组 专项基础训练 (时间：40分钟) π 1.若曲线f(x)＝xsin x＋1在x＝处的切线与直线ax＋3y＋1＝0互相垂直，则实数a＝ 2________. 答案 3 ?π?解析 求导得f′(x)＝sin x＋xcos x，故f′??＝1， ?2? 所以直线的斜率k＝－＝－1，得a＝3. 3 2.设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线sin A·x－ay－c＝0与bx＋sin B·y＋sin C＝0的位置关系是________. 答案 垂直 sin Ac解析 方法一 因为直线sin A·x－ay－c＝0的斜率k1＝，在y轴上的截距b1＝－；aaa
[步步高]高考数学一轮复习第九章平面解析几何两条直线的位置关系文
