【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析
几何 9.2 两条直线的位置关系 文
1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2?k1＝k2 (k1，k2均存在).
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. ②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2?k1·k2＝－1 (k1，k2均存在). (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组
??A1x＋B1y＋C1＝0，???A2x＋B2y＋C2＝0
的解.
2.几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2＝(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
x2－x12＋y2－y12. d＝|Ax0＋By0＋C|. A2＋B2|C1－C2|(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝2. A＋B2【知识拓展】
1.一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.
2.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋
λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ∈R)，但不包括l2.
3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件： (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等. 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2?l1∥l2.( × ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.( √ )
|kx0＋b|
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.( × ) 21＋k(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )
1
(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中
k点在直线l上.( √ )
1.设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件. 答案 充分不必要
解析 (1)充分性：当a＝1时，
直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行；
(2)必要性：当直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行时有a＝－2或1. 所以“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件.
2.(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________. 答案
2－1
|a－2＋3|
解析 依题意得＝1.
1＋1解得a＝－1＋2或a＝－1－2. ∵a>0，∴a＝－1＋2.
3.已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为________. 答案 －7
3＋m5－3m解析 l1的斜率为－，在y轴上的截距为，
44
l2的斜率为－
28，在y轴上的截距为. 5＋m5＋m3＋m22
又∵l1∥l2，由－＝－得，m＋8m＋7＝0，
45＋m得m＝－1或－7.
m＝－1时，m＝－7时，5－3m8
＝＝2，l1与l2重合，故不符合题意； 45＋m5－3m138
＝≠＝－4，符合题意. 425＋m2
2
4.(2014·福建改编)已知直线l过圆x＋(y－3)＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是________________________________________________________________. 答案 x－y＋3＝0
解析 圆x＋(y－3)＝4的圆心为点(0,3)， 又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直， 所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
5.(教材改编)若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________. 答案 0或1
解析 由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
2
2
题型一 两条直线的平行与垂直
例1 (1)已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝________. (2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝________. 答案 (1)－1或2 (2)－2
解析 (1)若a＝0，两直线方程为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0.当a≠0时，若两直线平行，则有(2)方法一 ∵l1⊥l2，
a－121
＝≠，解得a＝－1或a＝2. 1a3
∴k1k2＝－1， 即＝－1， 2解得a＝－2. 方法二 ∵l1⊥l2， ∴a＋2＝0，a＝－2.
思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.
a 已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：
2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得： (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2.
解 (1)方法一 当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于
l2.
当sin α≠0时，k1＝－
1
，k2＝－2sin α. sin α12
要使l1∥l2，需－＝－2sin α，即sin α＝±.
sin α2π
所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等.
4π
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
4
方法二 由A1B2－A2B1＝0，得2sinα－1＝0，
2
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