数学精品复习资料
第3课时 抛物线中的一个动点问题
(40分)
1．(20分)[2017·酒泉]如图6－3－1，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点B(－2，0)，点C(8，0)，与y轴交于点A.
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋4的表达式； (2)连结AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点
图6－3－1
B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；
(3)连结OM，在(2)的结论下，求OM与AC的数量关系．
【解析】 (1)用待定系数法，将点B，点C的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋4，解得a，b，即可求出二次函数的表达式；
(2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)，则BN＝n＋2，CN＝8－n.由题意可知，BC＝10，OA＝4，S△ABC＝20，S△ABN＝2(n＋2)，因MN∥AC，根据平行线分AMNC8－n
线段成比例定理可得AB＝BC＝10，由△AMN，△ABN是同高三角形，可S△AMNAMCN8－n得出＝＝＝10，从而得出△AMN的面积S与n的二次函数关系
S△ABNABCB式，根据二次函数的顶点性质，即可求出当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大；
(3)当N(3，0)时，N为BC边中点，由NM∥AC推出M为AB边中点，根据直1
角三角形中线定理可得OM＝2AB，利用勾股定理，易得AB＝25，AC＝45，1
即可求出OM＝4AC.
?4a－2b＋4＝0，
解：(1)将点B，点C的坐标分别代入y＝ax＋bx＋4，得?
?64a＋8b＋4＝0，
2
13
解得a＝－4，b＝2.
13
∴该二次函数的表达式为y＝－4x2＋2x＋4； (2)设点N的坐标为(n，0)(－2＜n＜8)； 则BN＝n＋2，CN＝8－n.
∵B(－2，0)，C(8，0)，∴BC＝10. 令x＝0，得y＝4，∴A(0，4)，OA＝4， AMNC8－n
∵MN∥AC，∴AB＝BC＝10.
1
∵OA＝4，BC＝10，∴S△ABC＝2BC·OA＝20. 11
S△ABN＝2BN·OA＝2(n＋2)×4＝2(n＋2)， S△AMNAM8－n又∵＝＝10，
S△ABNAB
8－n11
∴S△AMN＝10S△ABN＝5(8－n)(n＋2)＝－5(n－3)2＋5. ∴当n＝3时，即N(3，0)时，△AMN的面积最大； (3)当N(3，0)时，N为BC边中点．∴M为AB边中点， 1
∴OM＝2AB，∵AB＝OB2＋OA2＝4＋16＝25， AC＝OC2＋OA2＝64＋16＝45， 11
∴AB＝2AC，∴OM＝4AC.
2．(20分)[2016·贵港]如图6－3－2，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)与x轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE＝S△ABC时，求点E的坐标；
图6－3－2
(3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP＝∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)把A，B两点坐标代入表达式，可得
1a＝??3，?25a－5b－5＝0，
?解得?
29a＋3b－5＝0，?
??b＝3，122
∴抛物线的表达式为y＝3x＋3x－5；
12
(2)在y＝3x2＋3x－5中，令x＝0，可得y＝－5， ∴点C坐标为(0，－5)，
∵S△ABE＝S△ABC，且点E在x轴下方， ∴点E纵坐标和点C纵坐标相同， 12
当y＝－5时，代入可得3x2＋3x－5＝－5， 解得x＝－2或x＝0(舍去)， ∴点E坐标为(－2，－5)；
122??
(3)假设存在满足条件的P点，其坐标为?m，3m＋3m－5?，
??
如答图，连结AP，CE，AE，过点E作ED⊥AC于点D，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
则AQ＝AO＋OQ＝5＋m， 2?1?
PQ＝?3m2＋3m－5?，
??
在Rt△AOC中，OA＝OC＝5， 则AC＝52，∠ACO＝∠DCE＝45°，
由(2)可得EC＝2，在Rt△EDC中，可得DE＝DC＝2， ∴AD＝AC－DC＝52－2＝42， 当∠BAP＝∠CAE时，则△EDA∽△PQA，
?122?
?3m＋3m－5?
?EDPQ2?
∴AD＝AQ，即＝，
5＋m42
12211221
∴3m＋3m－5＝4(5＋m)或3m＋3m－5＝－4(5＋m)， 12115
当3m2＋3m－5＝4(5＋m)时，整理可得4m2＋5m－75＝0，解得m＝4或m＝－5(与点A重合，舍去)，
第2题答图
1219
当3m2＋3m－5＝－4(5＋m)时，整理可得4m2＋11m－45＝0，解得m＝4或m＝－5(与点A重合，舍去)，
915
∴存在满足条件的点P，其横坐标为4或4.
(40分)
3．(20分)[2016·南宁]如图6－3－3，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)求证：△ABC是直角三角形；
(3)若N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与
图6－3－3
抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】 (1)∵顶点坐标为(1，1)， ∴设抛物线表达式为y＝a(x－1)2＋1，
又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1， ∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x， 联立抛物线和直线表达式，可得
2
?y＝－x＋2x，?x＝2，?x＝－1，?解得?或? ?y＝x－2，?y＝0?y＝－3，
∴B(2，0)，C(－1，－3)；
(2)证明：如答图，分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于D，E两点， 则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3， EC＝3.
∴∠ABO＝∠CBO＝45°，即∠ABC＝90°， ∴△ABC是直角三角形；
(3)假设存在满足条件的点N，设N(x，0)，则M(x， －x＋2x)，
∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|，
由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB＝2，BC＝32，
2
第3题答图
∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC＝∠MNO＝90°， MNONMNON∴当△ABC和△MNO相似时有AB＝CB或CB＝AB， |－x2＋2x||x|MNON
①当AB＝CB时，则有＝，
2321
即|x|·|－x＋2|＝3|x|，
∵当x＝0时M，O，N不能构成三角形，∴x≠0， 11∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3， 57
解得x1＝3，x2＝3，
?5??7?
此时点N坐标为?3，0?或?3，0?；
????|－x＋2x||x|MNON
②当CB＝AB时，则有＝，
322即|x|·|－x＋2|＝3|x|，
∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3， 解得x＝5或－1，
此时点N坐标为(－1，0)或(5，0)，
?5??7?
综上可知，存在满足条件的点N，其坐标为?3，0?或?3，0?或(－1，0)或(5，
????0)．
4．(20分)[2017·泸州]如图6－3－4，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)三点． (1)求该二次函数的表达式；
(2)点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO(O是坐标原点)，求点D的坐标； (3)点P是该二次函数图象上位于第一象限内的一个动点，连结PA分别交BC，y轴于点E，F，若△PEB，△CEF的面积分别为S1，S2，求S1－S2的最大值． 【解析】 (1)根据待定系数法求解；
(2)设直线BD与y轴的交点为M(0，t)．根据tan∠MBA＝tan∠CAO列关于t
图6－3－4
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2024年数学中考：第六讲 第3课时 抛物线中的一个动点问题
