2024文科高考考前集训：解答题限时练
1.(2024河北枣强中学高三模拟,文17)已知函数f(x)= sin 2x-cos2x- . (1)求f(x)的最小正周期;
(2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c= ,f(C)=0,若sin B=2sin A,求a,b的值.
2.已知数列{a,且满足a n}中,a1=1,其前n项的和为Snn=
-
(n≥2). (1)求证:数列
是等差数列;
(2)证明:当n≥2时,S 1+ S2+ S
3+…+ Sn< . 3.
如图,四边形ABCD是菱形,AF⊥BD,AF∥CE且AF=2CE. (1)求证:平面ACEF⊥平面BDE;
(2)已知在线段BF上有一点P,满足AP∥DE,求
的值.
4.已知函数f(x)=ln x+ x2+ax(a∈R),g(x)=ex+ x2. (1)讨论函数f(x)极值点的个数;
(2)若对?x>0,不等式f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.
5.已知椭圆C:
=1(a>b>0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点
D 在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和M,且
|PM|=|MN|,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1. (1)求椭圆C的方程.
(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
6.(2024四川泸州高三二模,文20)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(1,a)在此抛物线上,|PF|=2,不过原点的直线l与抛物线C交于A,B两点,以AB为直径的圆M过坐标原点. (1)求抛物线C的方程; (2)证明:直线l恒过定点;
(3)若线段AB中点的纵坐标为2,求此时直线l和圆M的方程.
参考答案
1.解 (1)f(x)=
sin 2x-cos2x- =
sin 2x-
=
sin 2x- cos 2x-1 =sin2x-
-1.
所以函数f(x)的最小正周期为π. (2)由f(C)=0,得sin2C-
=1. 因为0 <2C- , 所以2C- ,C= . 又sin B=2sin A,由正弦定理得 =2.① 由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos , 即a2+b2-ab=3. 由①②解得a=1,b=2. 2.解 (1)当n≥2时,S n-Sn-1= - ,Sn-1-Sn=2SnSn-1, =2,从而 构成以1为首项,2为公差的等差数列. - ② (2)由(1)可知, +(n-1)×2=2n-1,∴Sn= - , ∴当n≥2时, Sn= - - , - 从而S1+ S2+ S3+…+ Sn<1+ 1- +…+ - = . 3.解 (1)∵四边形ABCD是菱形, ∴BD⊥AC. ∵AF⊥BD,∴BD⊥平面ACEF, ∵BD?平面BDE,∴平面ACEF⊥平面BDE. (2)在平面ABF内作BM∥AF,且BM=CE,连接AM交BF于点P. ∵BM∥AF,AF∥CE,∴BM∥CE, 又BM=CE, ∴四边形BCEM为平行四边形, ∴BC∥ME,且BC=ME. ∵四边形ABCD是菱形, ∴BC∥AD且BC=AD, ∴ME∥AD且ME=AD. ∴四边形ADEM为平行四边形. ∴DE∥MA,即DE∥AP. ∵BM∥AF,∴△BPM∽△FPA, ∵BM=CE= AF,∴ 4.解 (1)f'(x)= +x+a= . (x>0),令f'(x)=0,即x2+ax+1=0,Δ=a2-4. ①当a2-4≤0时,即-2≤a≤2时,x2+ax+1≥0恒成立,即f'(x ≥0 此时f(x)在(0,+∞)单调递增,无极值点. ②当a2-4>0时,即a<-2或a>2, 若a<-2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1 - 故x1>0,x2>0, 此时x∈(0,x1),f'(x)>0,f(x)单调递增, x∈(x1,x2),f'(x)<0,f(x)单调递减, x∈(x2,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增, 故x1,x2分别为f(x)的极大值点和极小值点, 因此a<-2时,f(x)有两个极值点. 若a>2,设方程x2+ax+1=0的两根为x1,x2,且x1 - 故x1<0,x2<0,此时f(x)无极值点. 综上:当a<-2时,f(x)有两个极值点,当a≥-2时,f(x)无极值点. (2)f(x ≤g(x)等价于ln x+ x2+ax≤ex+ x2, 即e-ln x+x≥ax,因此a≤ - x2 - . 设h(x)=, h'(x)= - - -
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