初中数学竞赛辅导资料(2)

由天下分享时间：2025/3/21 16:17:23 加入收藏我要投稿点赞

3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。例如：

m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝（k为整数） m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝. 或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。 m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。

4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。

举例如下：

①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2） ②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3 （余数1×3＝3） ③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4 （余数22＝4）以上等式可叙述为：

① 两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。

② 两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。

③ 如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是

4或9。

余数的乘方，包括一切正整数次幂。

如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64） 5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。

乙例题

例1. 今天是星期日，99天后是星期几？

分析：一星期是7天，选用模m=7, 求99除以7的余数解：99＝（7＋2）9，它的余数与29的余数相同，

29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余数与13相同， ∴99天后是星期一。

又解：设｛A｝表示A除以7的余数，｛99｝＝｛（7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛（7＋1）3｝＝｛13｝＝1 例2. 设n为正整数，求43 n+1 除以9的余数。分析：设法把幂的底数化为9k＋r形式

解：43 n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n

∵(9×7＋1)n除以9的余数是1n=1 ∴43 n+1 除以9的余数是4。

例3. 求证三个连续整数的立方和是9的倍数解：设三个连续整数为n－1,n,n+1

M=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2) 把整数n按模3，分为三类讨论。

当n=3k （k为整数，下同）时，M＝3×3k［(3k)2+2］=9k(9k2+2) 当n=3k+1时， M＝3（3k+1）［(3k+1)2+2］＝3（3k+1）(9k2+6k+3)

=9(3k+1)(3k2+2k+1)

当n=3k+2时， M＝3（3k+2）［(3k+2)2+2］＝3（3k+2）(9k2+12k+6) ＝9(3k+2)(3k2+4k+2) ∴对任意整数n，M都是9的倍数。例4. 求证：方程x2－3y2=17没有整数解

证明：设整数x按模3分类讨论，

①当x＝3k时，（3k）2－3y2=17, 3(3k2－y2)=17 ⑵当x=3k±1时，（3k±1）2－3y2=17 3(3k2±2k－y2)=16 由①②左边的整数是3的倍数，而右边的17和16都不是3的倍数， ∴上述等式都不能成立，因此，方程x2－3y2=17没有整数解例5. 求证：不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除证明：把n按模5分类讨论，

当n=5k时，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1

当n=5k±1 时，n2+n+1＝（5k±1）2＋5k±1＋1

＝25k2±10k+1+5k±1＋1＝5（5k2±2k＋k）＋2±1 当n=5k±2时，n2+n+1＝（5k±2）2＋5k±2＋1

＝25k2±20k+4+5k±2＋1＝5（5k2±4k+k+1）±2 综上所述，不论n取什么整数值，n2+n+1都不能被5整除又证：n2+n+1＝n(n+1)+1

∵n(n+1)是两个连续整数的积，其个位数只能是0，2，6 ∴n2+n+1的个位数只能是1，3，7，故都不能被5整除。丙练习16

1. 已知a=3k+1, b=3k+2, c=3k (a,b,c,k都是整数)

填写表中各数除以3的余数。

a+b a+c ab ac 2a 2b a2 b2 b3 b5 a+b)5

2. 376÷7的余数是＿＿＿＿＿

3．今天是星期日，第2天是星期一，那么第2111天是星期几？ 4．已知m,n都是正整数，求证：3

nm(n2+2)

（a2－1）