答：当a的取值为6
11?a?10时，原方程组的解是正数。 53例3. m取何整数值时，方程组??2x?my?4的解x和y都是整数？
?x?4y?18?x?1???m?8解：把m作为已知数，解方程组得?
2?y??m?8?∵x是整数，∴m－8取8的约数±1，±2，±4，±8。
∵y是整数，∴m－8取2的约数±1，±2。 取它们的公共部分，m－8＝±1，±2。 解得 m=9，7，10，6。
经检验m=9，7，10，6时，方程组的解都是整数。
例4（古代问题）用100枚铜板买桃，李，榄橄共100粒，己知桃，李每粒分别是3，4枚铜板，而榄橄7粒1枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？ 解：设桃，李，榄橄分别买x, y, z粒,依题意得
?x?y?z?100??(1)? 1?3x?4y?z?100(2)?7?由（1）得x= 100－y－z (3)
把（3）代入（2），整理得 y=－200+3z－设
z 7z?k(k为整数) 得z=7k, y=－200+20k, x=300－27k 7100?k???300?27k?09??∵x,y,z都是正整数∴??200?20k?0解得?k.?10（k是整数）
?7k?0?k.?0???∴10＜k<11, ∵k是整数， ∴k=11
即x=3（桃）, y=20（李）, z=77（榄橄） (答略)
丙练习11
1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况： ① ?19?x?2y?3?2x?y?3?3x?5y?1 ②? ③?
?3x?6y?9?4x?2y?3?3x?5y?12??x?3y?a?a?1?22． a取什么值时方程组??9x?6y?9a?2a?2的解是正数？
3． a取哪些正整数值，方程组??x?2y?5?a的解x和y都是正整数？
3x?4y?2a?4． 要使方程组??x?ky?k的解都是整数， k应取哪些整数值？
?x?2y?15． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，
鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
初中数学竞赛辅导资料（12）
用交集解题
甲内容提要
1． 某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约
数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。
2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。 3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合， 正正整整数右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 数数集集的公共部分，是它们的交集――正整数集。 集不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。 例如不等式组??2x?6?(1)解的集合就是
?x?2?(2)?不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.
如数轴所示： 0 2 3 4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2） 乙例题
例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。 解：除以3余2的自然数集合A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝
除以5余3的自然数集B＝｛3，8，13，18，23，28，……｝ 除以7余2自然数集合C＝｛2，9，16，23，30，……｝ 集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。
例2. 有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。 解： 二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数
的集合是｛1，3，7，9｝；
其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。
同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组
故所求质数是：23，17； 43，37； 53，47； 73，67共四组。
例3. 数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？
解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A、B两种都订的人数集合）。 ∴只订A种刊物的人数是28－6＝22人； A＝28B＝21只订B刊物的人数是21－6＝15人；
AB只A只B小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。
62215设N，N（A），N（B），N（AB），N 分别表示总人数，订A种、B种、AB两种、都不订的人数，则得 ［公式一］N＝N+ N（A）+N（B）－N（AB）。
例4. 在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒
乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人， 问：有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球？ 解：仿公式一,得［公式二］： N＝N+ N（A）+N（B）+N(C)－N（AB）－N（AC）－N(BC)+N(ABC) ①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人） AAB24 6②求N（BC）可用公式二：
ACABC∵40＝24＋18＋10－6－4－N（BC）＋1
4 1∴N（BC）＝3， 即同时会打篮球和排球的是3人 C 10③只会打排球的是10－3－1＝6（人）
例5. 十进制中，六位数19xy87能被33整除，求x和y的值 解：∵0≤x，y≤9， ∴0≤x+y≤18， －9≤x－y≤9，x+y>x－y
∵33＝3×11，
∴1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17 (1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数， 故x－y=－4，7
∵x+y和x－y是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解：
B18?x?y?8?x?y?14 ???x?y??4?x?y??4?x?y?11 ??x?y?7?x?y?17 ??x?y?7解得??x?2
?y?6?x?5 ??y?9?x?9 ??y?2?x?12 ??y?5（x=12不合题意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2
丙练习12
1． 负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿
2． 等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。 3． 12的正约数集合A＝｛ ｝，30的正约数集合B＝｛ ｝ 12和30的公约数集合C＝｛ ｝，集合C是集合A和集合B的＿＿ 4． 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：
?1?3x?6??x?2?x?2?0?x??1①? ②?③ ?3 ④?
?x??55x?0x?2?0??????2x??25． 某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。 6． 九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张
数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？ 7． 求符合如下三条件的两位数：①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数
位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。 8． 据30名学生统计，会打篮球的有22人，其中5人还会打排球；有2人两种球都不会打。
那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？
9． 100名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人A和B进行表决，赞成A的有52票，
赞成B的有60票，其中A、B都赞成的有36人，问对A、B都不赞成的有几人？ 10. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学24人，物理18人，化学10人；按两科统计，参加数理、数化、理化分别是13、4、5人，没有三科都参加的人。求参赛的总人数，只参加数学科的人数。（本题如果改为有2人三科都参加呢？） 11. x?y?3?x?y?5?0
12. 十进制中，六位数1xy285能被21整除，求x,y的值（仿例5）
初中数学竞赛辅导资料（13）
用枚举法解题
甲内容提要
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意： ① 按一定的顺序，有系统地进行；
② 分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
③ 遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。 乙例题 1 1 N例1 如图由西向东走， 43A11B从A处到B处有几 PC134种走法？ M1 1
解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如 从A到C有三种走法，在C处标上3， 从A到M（N）有3＋1＝4种， 从A到P有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B，可得1＋1＋11＝13（种走法）
例2 写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项
式。
解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X的项的顺序列出（如左） 解法二：按X→Y→Z→X的顺序轮换写出（如右）
X4 ， X 4 ， Y4 ， Z4 X3Y， X3Z， X3Y ， Y3Z ， Z3X X2Y2， X2Z2， X2YZ， X3Z ， Y3X， Z3Y XY3， XZ3， XY2Z， XYZ2， X2Y2， Y2Z2 ， Z2X2
Y4， Z 4 Y3Z， Y2Z 2， YZ3。 X2YZ， Y2ZX， Z2XY 解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略) 例3 讨论不等式ax 解：把a、b、c都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表 ax<0的解集 b 正 负 零 a 正 负 零 当a>0时，解集是x< bb, 当a<0时，解集是x>, aa 当a=0,b>0时，解集是所有学过的数， 当a=0,b≤0时，解集是空集(即无解) 例4 如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数 解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位， 再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计： 边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10 边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6 边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6 边长2单位，顶点在下的▽有：1 边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3 边长4单位，顶点在上的△有：1 合计共27个 丙练习13 1． 己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿ 2． a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3． xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿ 4． 如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的 所有线段，并统计总条数。
初中数学竞赛辅导资料(2)
