初中数学竞赛辅导资料(9)
一元一次方程解的讨论
甲内容提要
1， 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的
解也叫做根。
例如：方程 2x＋6＝0， x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。 2， 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后， 讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=
b； a当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立） 3, 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a｜b时，方程有整数解；
当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解； 当a、b同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 乙例题
例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？
解：①当a≠0且a≠2 时，方程有唯一的解，x=
②当a=0时，原方程就是0x= －8，无解； ③当a=2时，原方程就是0x=0有无数多解 ④由①可知当a≠0且a≠2时，方程的解是x=
4 a4,∴只要a与4同号， a即当a>0且a≠2时，方程的解是正数。 例2 k取什么整数值时，方程
①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？
②（1－x）k=6的解是负整数？ 解：①化为最简方程（k＋2）x=4
当k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4时，方程的解是整数 ∴k=－1，－3，0，－4，2，－6时方程的解是整数。 ②化为最简方程kx=k－6，
当k≠0时x=
k?66=1－， kk只要k能整除6, 即 k=±1，±2，±3，±6时，x就是整数
当 k=1,2,3时，方程的解是负整数－5，－2，－1。
例3 己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。问a和b应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程： (a－b)x=b
∵方程无解，∴a－b=0且b≠0 ∴a和b应满足的关系是a=b≠0。
例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7， 根据 0x＝0时，方程有无数多解，可知 当 ??3a?2b?8?0时，原方程有无数多解。
?2a?3b?7?0?a?2解这个方程组得?
b?1? 答当a=2且b=1时，原方程有无数多解。
丙练习（9）
1, 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x+1)=0, ②x2=9, ③|x|=9， ④|x|=－3, ⑤3x+1=3x－1, ⑥x+2=2+x
2,关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________ 3,在方程a(a－3)x=a中，
当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a＿＿＿时无解；
当a＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a＿＿＿＿时,解是负数。 4， k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？
① x=
462k?33k?2 ②x= ③x= ④x= kk?1kk?15， k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？
6， m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？
3x?6a?2的根是正数，那么a、b应满足什么关系？ ?1?42x28， m取什么整数值时，方程(?1)m?1?m的解是整数?
33b39， 己知方程(x?1)?1?ax有无数多解，求a、b的值。
227， 己知方程
初中数学竞赛辅导资料（10）
二元一次方程的整数解
甲内容提要
1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的
解）。k叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
1?11y1?y?10y1?y=??2y (1) , 5551?y 设，则y=1-5k (2) , ?k(k是整数）
5解：x=
把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是?方法二，公式法：
?x?11k?2（k是整数）
?y?1?5k?x?x0?x?x0?bk设ax+by=c有整数解?则通解是?（x0,y0可用观察法）
y?yy?y?ak00??3， 求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。
乙例题
例1求方程5x－9y=18整数解的能通解
18?9y15?10y?3?y3?y ??3?2y?5553?y设，y=3－5k, 代入得x=9－9k ?k（k为整数）
5解x=
∴原方程整数解是??x?9?9k （k为整数）
?y?3?5k?x?0?x?0?9y它的通解是?（k为整数）
?y??2?y??2?5k又解：当x=o时，y=－2， ∴方程有一个整数解? 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
例2，求方程5x+6y=100的正整数解 解：x= 设
100?6yy?20?y?(1)， 55y?k(k为整数)，则y=5k,(2) 5把（2）代入（1）得x=20-6k， ∵??20?6k?0?x?0 解不等式组?
5k?0y?0??20,k的整数解是1，2，3， 6得0＜k<
∴正整数解是??x?14?x?8?x?2 ???y?5?y?10?y?15例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？ 解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得
3x+5y=38 （x,y都是正整数） ∵x＝1时，y=7，∴??x?1是一个整数解
?y?7?x?1?5k∴通解是?（k为整数）
y?7?3k?解不等式组??1?5k?017得解集是??k? ∴整数k=0，1，2
53?7?3k?0?x?1把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解??y?7?x?6?x?11 ??y?1y?4??答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。
丙练习10
1， 求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2, 求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110
3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4， 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁
数。
5， 下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）
① 4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,
④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.
6, 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？
7． 用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解： y= x=
1 4 －2 1?7y? 3初中数学竞赛辅导资料（11）
二元一次方程组解的讨论
甲内容提要
1． 二元一次方程组??a1x?b1y?c1的解的情况有以下三种：
ax?by?c22?2① 当
a1b1c1??时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） a2b2c2a1b1c1??时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） a2b2c2a1b1?（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解： a2b2② 当
③ 当
c1b2?c2b1?x??a1b2?a2b1? ? （这个解可用加减消元法求得）
ca?ca?y?2112?a1b2?a2b1?2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解
含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 乙例题
?5x?y?7例1. 选择一组a,c值使方程组?
ax?2y?c?① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c时，方程组有无数多解
解比例得a=10, c=14。
② 当 5∶a＝1∶2≠7∶c时，方程组无解。
解得a=10, c≠14。
③当 5∶a≠1∶2时，方程组有唯一的解，
即当a≠10时，c不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a取什么值时，方程组??x?y?a 的解是正数？
?5x?3y?31解：把a作为已知数，解这个方程组
31?3a??31?3ax??0???x?0??22得? ∵? ∴?
?y?0?y?5a?31?5a?31?0??2??2?a???解不等式组得??a???31113 解集是6?a?10 31535
初中数学竞赛辅导资料(2)
