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模块七 定积分（应用）
Ⅰ经典习题
一．平面图形的计算
1、曲线y?e?xsinx?0?x?3??与x轴所围成图形的面积可表示为（）
3?0?A???0?03?esinxdx ?B??e?xsinxdx
?x2?3??C??e?xsinxdx??e?xsinxdx??e?xsinxdx
?2??D??02?esinxdx??e?xsinxdx
2??x3?2、设b为常数
2x3?bx?1（1）求曲线L:y?的斜渐近线（记为l）的方程
x(x?2)（2）设L与l从x?1延伸到x???之间的图线的面积3、曲线yA为有限值，求b,A
?x2与直线y?x?2所围成的平面图形的面积为_________.
24、假设曲线L1：y?1?x?0?x?1?、x轴和y轴所围区域被曲线L2：y?ax2分为面
积相等的两部分,其中a是大于零的常数,试确定a的值. 5、求曲线y?积最小. 6、计算抛物线y2x的一条切线l,使该曲线与切线l及直线x?0,x?2所围成的平面图形面
?2x与直线y?x?4所围成的图形面积。
x2y27、求椭圆2?2?1所围成图形的面积。
ab8、求下列各曲线围成的图形的面积 （1）??2acos?
（2）??2a?2?cos??
二．简单几何体的体积
9、曲线y?1??x?1?及直线y?0围成的图形绕y轴旋转而成的立体的体积是（ ）
2?A??0??1?111?y?2dy ?B???1?1?y01??2dy
1?1?y??1?1?y?dy ?C??0????1?1?y?D??0????1???2?2????1?1?y?x?dy ????210、设曲线方程为y?e（1）把曲线y?e?x(x?0).
、x轴、y轴和直线x??(??0)所围平面图形绕x轴旋转一周，得一
1limV(?)的a 2????(2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.
旋转体，求此旋转体体积V(?);求满足V(a)?11、设抛物线y?ax2?bx?c过原点，当0?x?1时y?0,又已知该抛物线与x轴及直线
3x?1所围图形的面积为1.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V
最小.
12、过坐标原点作曲线y?e的切线，该切线与曲线y?e以及x轴围成的向x轴负向无限延伸的平面图形记为D （1）求D的面积
（2）求D饶直线x?1所成旋转体体积V
13、设曲线y?ax（x?0,a?0）与曲线y?1?x交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y?ax围成一平面图形D
（1）求D饶x轴旋转一周所成的旋转体体积V(a) （2）求a的值使V(a)为最大
222xx14、在曲线y?x(x?0)上某点A处作切线，使之与曲线及x轴所围图形的面积为求：
（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程；
（3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。
15、过原点作曲线y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx以及x围成平面图形D （1）求D的面积
（2）求D绕直线x?e旋转一周所得旋转体的体积V
21,试1216、求曲线y?3?|x?1|与x轴围成的封闭图形绕直线y?3旋转所得的旋转体体积. 17、设曲线y?4ax及直线x?x0?x0?0?所围成图形绕x轴旋转的体积。
22三．曲线弧长（*数学一、数学二）
18、曲线r?ae?b??a?0,b?0?，从??0到??????0?的弧长为（）
?0?A?s??aeb?1?b2d? ?B?s??01??abeb?2?d?
2?C?s???01??aeb??d? ?D?s??abeb?1??abeb??d?
20?19、计算曲线y?lnx上相应于3?x?8的一段弧长。 20、求对数螺旋线??e，相应于0????的一段弧长。 21、求曲线???1，相应于
a?34???的一段弧长。 4322、求心形线??a?1?cos??的全长。 23、求抛物线y?1222x，被圆x?y?3所截下的有限部分弧长。 2四．旋转曲面面积（*数学一、数学二）
24、已知摆线的参数方程为??x?a(t?sint)，其中0?t?2?，常数a?0，设摆线一拱的
?y?a(1?cost)弧长的数值等于该弧段饶x轴旋转一周所围成的旋转曲面面积的数值，求a 25、设有曲线y?x?1,过原点作其切线,求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x 轴
旋转一周所得到的旋转体的表面积. 26、由曲线段y?1x(0?x?2)绕x轴的旋转面面积. 2五．物理应用（*数学一、数学二）
27、曲线x?a?t?sint?，y?a?1?cost?,?0?t?2??的质心为
?A????a,?4?2?5?7????a? ?B???a,a? ?C???a,a? ?D???a,a?
4?4?3?3????28、半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，
需要多少功？
29、一圆柱形的贮水桶高为5m，底圆半径为3m，桶内盛满水，试问要把桶内的水全部吸出来需要做多少的功。
30、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板1cm。如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等，问铁锤第二次时，铁钉又击入多少？
31、等腰梯形的闸门，它的两条底边各长10m和6m，高为20m，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力(重力加速度按9.8m/s计算)。
32、一底为8cm，高为6cm的等腰三角形片，铅直的沉入到水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm，试求它的每面所受的压力(重力加速度按9.8m/s计算)。 33、求下列平面图形的形心坐标： （1）平面区域：D1?2222??x,y?|x2?y2?1,x?0,y?0?；
（2）曲线：x?y?1,x?0,y?0； （3）平面区域：D2???x,y?|x2?y2?1,?1?x?1,0?y?1?.
考研数学高等数学强化习题-定积分(应用)
