2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
主动成长
夯基达标
1.4(a-b)-3(a+b)-b等于（ ） A.a-2bB.aC.a-6bD.a-8b
解析:4（a-b）-3（a+b）-b=4a-4b-3a-3b-b=a-8b. 答案:D 2.已知A.解析:答案:C
3.点C在线段AB上，且A.
B.
C.-=5，则
=D.-=3，
，则 =2，又
与
答案:D 4.若O为A.解析:
B.
ABCD对角线的交点，C.
D.(3e2-2e1)=
(
-)=
(
+
)=
=
.
=2e1，
=3e2，则
e2-e1等于（ ） 方向相反，故
=-.
等于（ ）
=B.-=
-，C.-=
=D.
，则
.
等于（ ）
解析:如图，设
e2-e1=
答案:B
5.已知5(x+a)=2(b-x),则x等于（ ） A.
a-bB.
a-bC.-a+
bD.
a+
b
x=
.
解析:5(x+a)=2(b-x)5x+5a=2b-2x7x=-5a+2b
答案:C
6.给出下面四个结论：①对于实数p与向量a、b有p(a-b)=pa-pb;②对于实数p、q和向量a，有（p-q）a=pa-qa;③若pa=pb(p∈R),则有a=b；④若pa=qa(p、q∈R,a≠0),则p=q.其中正确的个数是（ ） A.1B.2C.3D.4
解析:结论③中，p=0也有pa=pb.其余正确.
答案:C 7.若
=3e1，
=-5e1，且|
|=|
|，则四边形ABCD是（ ）
A.平行四边形B.等腰梯形 C.菱形D.不等腰的梯形 解析:由
=3e1,
=-5e1,得
∥
且|
|≠|
|，|
|=|
|，即四边形
ABCD是一组对边平行，另一组对边相等，所以四边形ABCD是等腰梯形. 答案:B
8.O为平行四边形ABCD的中心，解析:3e2-2e1=答案:9.若2(y-解析:2y-即∴y=答案:
y- a)-a-a-a-a-(c+b-3y)+b=0,其中a、b、c为已知向量，则未知向量y=_____________. c-c+b+b+
b+b=0, c. c
=a+2b，
=-4a-b，
=-5a-3b（a、b为不共线向量），
y+b=0, -=
（
=4e1，-=6e2，则3e2-2e1=____________. ）=
=
.
10.在四边形ABCD中，
求证：四边形ABCD是梯形. 证明:∵∴∴
==2
=a+2b，+
+
=-4a-b，
=-5a-3b，
=a+2b-4a-b-5a-3b=-8a-2b.
.∴AD∥BC且AD=2BC.
∴四边形ABCD是梯形. 11.如图2-2-21，已知
=3e1，
=3e2， 、
、
.（用e1、e2表示）
、
.（用e1、e2表示）
（1）若C、D是AB的三等分点，求（2）若C、D、E是AB的四等分点，求
图2-2-21
解析:（1）∵C、D是AB的三等分点， ∴=∴
=（2）∴
===++=
=
=
=
（
-）
（3e2-3e1）=e2-e1. =+=+
==+
=3e1+e2-e1=2e1+e2, =3e1+2=
==3e1+e1+e1+
=3e1+2e2-2e1=e1+2e2. =e2-e2+e2+
e1=e2-e2-=
（3e2-3e1）=e1+e1=e1=
e2， e1+e1+
e2, e2.
=（
+
+
）.
e2-e1，
12.设G是△ABC的重心，O为平面内不同于G的任一点，求证：证明:∵
=
+=，+
=，
+++）.
（
+
+
）=0，即
+
, +，
=0.
又∵G为△ABC重心，∴∴即
+=
+（
+=
++
点评:若O与G重合，上式即为走近高考
13.(2006安徽高考)在
+=0.
ABCD中，=a，=b，=3，M为BC中点，则
=_____________.（用a、b表示） 解析:方法一：如图，
+
+
=-=-b-a+b-a+
（a+b）=
（b-a）.
处分点，则有N为OC中点，
=
=
=
方法二：设AC交BD于O，由于N为AC的（b-a）. 答案:
（b-a）
14.(2005全国高考卷Ⅰ)△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，
=m(
+
+
),则实数m=_______________.
解析:（特殊值法）当△ABC为直角三角形时，O为AC中点.AB、BC边上高的交点H与B重合.
+
+
=
=
，∴m=1.
答案:1
【精选】高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义成长训练新人教A版必
