第一章 1.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于3,则切线有( B ) A.1条 C.3条
B.2条 D.不确定
[解析] ∵f ′(x)=3x2=3,解得x=±1,切点有两个,即可得切线有2条. 2.已知f(x)=xα,若f ′(-1)=-2,则α的值等于( A ) A.2 C.3
B.-2 D.-3
[解析] 若α=2,则f(x)=x2,∴f ′(x)=2x,∴f ′(-1)=2×(-1)=-2,适合条件,故选A.
3.函数f(x)=x2与函数g(x)=2x( D ) A.在[0,+∞)上f(x)比g(x)增长的快 B.在[0,+∞)上f(x)比g(x)增长的慢 C.在[0,+∞)上f(x)与g(x)增长的速度一样快 D.以上都不对
[解析] 函数的导数表示函数的增长速度, 由于f ′(x)=2x,g′(x)=2.
若2x>2即x>1时,f(x)增长速度比g(x)增长速度快, 若2x<2即x<1时,f(x)比g(x)增长速度慢, 在x=1时两者增长速度相同. 故选D.
114.直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)(注:(lnx)′=)的一条切线,则实数b的值为( C )
2xA.2 C.ln2-1
B.ln2+1 D.ln2
111
[解析] ∵y=lnx的导数y′=,令=,得x=2,
xx2
1
∴切点为(2,ln2),代入直线y=x+b,得b=ln2-1.
2
5.(2019·武汉期末)若f(x)=x5,f ′(x0)=20,则x0的值为( B ) A.2 C.-2
[解析] 函数的导数f ′(x)=5x4, ∵f ′(x0)=20,
4∴5x40=20,得x0=4,
B.±2 D.±2
则x0=±2, 故选B.
16.(2019·长春高二检测)曲线y=x3在x=1处切线的倾斜角为( C )
3A.1 πC.
4
1
[解析] ∵y=x3,∴y′|x=1=1,
3∴切线的倾斜角α满足tanα=1, π
∵0≤α<π,∴α=.
4二、填空题
7.(2019·全国Ⅰ卷理,13)曲线y=3(x2+x)ex(注:(ex)′=ex,[f(x)·g(x)]′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x))在点(0,0)处的切线方程为y=3x.
[解析] y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=ex(3x2+9x+3),∴斜率k=e0×3=3,∴切线方程为y=3x.
8.已知f(x)=a2(a为常数),g(x)=lnx,若2x[f ′(x)+1]-g′(x)=1,则x=1. 11
[解析] 因为f ′(x)=0,g′(x)=,所以2x[f ′(x)+1]-g′(x)=2x-=1,解得x=1
xx1
或x=-,因为x>0,所以x=1.
2
三、解答题
9.将石块投入平静的水面,使它产生同心圆波纹.若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大,求在2s末被扰动水面面积的增长率.
πB.-
45πD.
4
[解析] 设被扰动水面的面积为S,时间为t, 依题意有S=πR2=36πt2,所以S′=72πt,
所以2s末被扰动水面面积的增长率为S′|t=2=144π(m2/s). 10.若曲线y=xa的值为多少?
[解析] ∵y=x
1-21-2
在点(a,a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18,则
3
1-2
1-
,∴y′=-2x2 ,
1-
)处的切线斜率k=-2a2 , 1-
=-2a2 (x-a)
3
3
∴曲线在点(a,a
1-2
∴切线方程为y-a
1-2
3-
令x=0得y=a2 ,
2令y=0得x=3a.
13-9
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=×3a×a2 =a2 =18,
224∴a=64.
B级 素养提升
一、选择题
1
1.已知P,Q为抛物线y=x2上两点,点P,Q横坐标分别为4,-2,过P,Q分别
2作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的坐标为( A )
A.(1,-4) C.(1,4)
B.(2,4) D.(-2,4)
1
1
1
[解析] y′=x,kPA=y′|x=4=4,kQA=y′|x=-2=-2. ∵P(4,8),Q(-2,2),
∴PA的直线方程为y-8=4(x-4), 即y=4x-8,
QA的直线方程为y-2=-2(x+2),
???y=4x-8?x=1
即y=-2x-2,联立方程组?得?.
?y=-2x-2???y=-4
∴A的坐标为(1,-4).
2.(2018·全国卷Ⅰ理,5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )
A.y=-2x C.y=2x
[解析] ∵ f(x)=x3+(a-1)x2+ax, ∴ f ′(x)=3x2+2(a-1)x+a.
又f(x)为奇函数,∴ f(-x)=-f(x)恒成立, 即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立, ∴ a=1,∴ f ′(x)=3x2+1, ∴ f ′(0)=1,
∴ 曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x. 故选D. 二、填空题
3.(2018·全国卷Ⅲ理,14)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=-3. [解析] ∵ y′=(ax+a+1)ex, ∴ 当x=0时,y′=a+1, ∴ a+1=-2,得a=-3.
4.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,若a1=16,则a1+a3+a5的值是21. 2[解析] ∵y′=2x,∴在点(ak,a2k)的切线方程为y-ak=2ak(x-ak),又该切线与x轴的
B.y=-x D.y=x
11
交点为(ak+1,0),所以ak+1=ak,即数列{ak}是等比数列,首项a1=16,其公比q=,∴a3
22=4,a5=1,∴a1+a3+a5=21.
三、解答题
5.求抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离.
2),依题意知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=[解析] 解法1:设切点坐标为(x0,x0
x2的切线的切点到直线x-y-2=0的距离最短.
1
∵y′=(x2)′=2x,∴2x0=1,∴x0=,
211
∴切点坐标为(,),
24
11|--2|2472∴所求的最短距离d==. 82解法2:设与抛物线y=x2相切且与直线x-y-2=0平行的直线l的方程为x-y+m=0(m≠-2),
??x-y+m=0,
由?得x2-x-m=0.
2
??y=x
∵直线l与抛物线y=x2相切, ∴判别式Δ=1+4m=0, 1∴m=-,
4
1
∴直线l的方程为x-y-=0,
4
1|-2+|
472
由两平行线间的距离公式得所求最短距离d==.
82
解法3:设点(x,x2)是抛物线y=x2上任意一点,则该点到直线x-y-2=0的距离d=|x-x2-2||x2-x+2|2
==|x2-x+2|
222=
2172(x-)2+. 228
17272当x=时,d有最小值,即所求的最短距离为.
288
6.已知A,B,C三点在曲线y=x上,其横坐标依次为1,m,4(1 [解析] 如图,在△ABC中,边AC是确定的,要使△ABC的面积最大,则点B到直线AC的距离应最大,可以将直线AC作平行移动,显然当直线与曲线相切时,距离达到最大,即当过B点的切线平行于直线AC时,△ABC的面积最大.
高二教材梳理使用资料1.2.1
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