第一章 1.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( B ) A．1条 C．3条
B．2条 D．不确定
[解析] ∵f ′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1，切点有两个，即可得切线有2条． 2．已知f(x)＝xα，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( A ) A．2 C．3
B．－2 D．－3
[解析] 若α＝2，则f(x)＝x2，∴f ′(x)＝2x，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2，适合条件，故选A．
3．函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x( D ) A．在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的快 B．在[0，＋∞)上f(x)比g(x)增长的慢 C．在[0，＋∞)上f(x)与g(x)增长的速度一样快 D．以上都不对
[解析] 函数的导数表示函数的增长速度， 由于f ′(x)＝2x，g′(x)＝2.
若2x>2即x>1时，f(x)增长速度比g(x)增长速度快， 若2x<2即x<1时，f(x)比g(x)增长速度慢， 在x＝1时两者增长速度相同． 故选D．
114．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)(注：(lnx)′＝)的一条切线，则实数b的值为( C )
2xA．2 C．ln2－1
B．ln2＋1 D．ln2
111
[解析] ∵y＝lnx的导数y′＝，令＝，得x＝2，
xx2
1
∴切点为(2，ln2)，代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.
2
5．(2024·武汉期末)若f(x)＝x5，f ′(x0)＝20，则x0的值为( B ) A．2 C．－2
[解析] 函数的导数f ′(x)＝5x4， ∵f ′(x0)＝20，
4∴5x40＝20，得x0＝4，
B．±2 D．±2
则x0＝±2， 故选B．
16．(2024·长春高二检测)曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( C )
3A．1 πC．
4
1
[解析] ∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，
3∴切线的倾斜角α满足tanα＝1， π
∵0≤α<π，∴α＝.
4二、填空题
7．(2024·全国Ⅰ卷理，13)曲线y＝3(x2＋x)ex(注：(ex)′＝ex，[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x))在点(0,0)处的切线方程为y＝3x.
[解析] y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.
8．已知f(x)＝a2(a为常数)，g(x)＝lnx，若2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝1，则x＝1. 11
[解析] 因为f ′(x)＝0，g′(x)＝，所以2x[f ′(x)＋1]－g′(x)＝2x－＝1，解得x＝1
xx1
或x＝－，因为x>0，所以x＝1.
2
三、解答题
9．将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹．若最外一圈波纹的半径R以6m/s的速度增大，求在2s末被扰动水面面积的增长率．
πB．－
45πD．
4
[解析] 设被扰动水面的面积为S，时间为t， 依题意有S＝πR2＝36πt2，所以S′＝72πt，
所以2s末被扰动水面面积的增长率为S′|t＝2＝144π(m2/s)． 10．若曲线y＝xa的值为多少？
[解析] ∵y＝x
1－21－2
在点(a，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，则
3
1－2
1－
，∴y′＝－2x2 ，
1－
)处的切线斜率k＝－2a2 ， 1－
＝－2a2 (x－a)
3
3
∴曲线在点(a，a
1－2
∴切线方程为y－a
1－2
3－
令x＝0得y＝a2 ，
2令y＝0得x＝3a.
13－9
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×3a×a2 ＝a2 ＝18，
224∴a＝64.
B级 素养提升
一、选择题
1
1．已知P，Q为抛物线y＝x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，过P，Q分别
2作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为( A )
A．(1，－4) C．(1,4)
B．(2,4) D．(－2,4)
1
1
1
[解析] y′＝x，kPA＝y′|x＝4＝4，kQA＝y′|x＝－2＝－2. ∵P(4,8)，Q(－2,2)，
∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4)， 即y＝4x－8，
QA的直线方程为y－2＝－2(x＋2)，
???y＝4x－8?x＝1
即y＝－2x－2，联立方程组?得?.
?y＝－2x－2???y＝－4
∴A的坐标为(1，－4)．
2．(2024·全国卷Ⅰ理，5)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )
A．y＝－2x C．y＝2x
[解析] ∵ f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴ f ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.
又f(x)为奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立， ∴ a＝1，∴ f ′(x)＝3x2＋1， ∴ f ′(0)＝1，
∴ 曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x. 故选D． 二、填空题
3．(2024·全国卷Ⅲ理，14)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝－3. [解析] ∵ y′＝(ax＋a＋1)ex， ∴ 当x＝0时，y′＝a＋1， ∴ a＋1＝－2，得a＝－3.
4．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是21. 2[解析] ∵y′＝2x，∴在点(ak，a2k)的切线方程为y－ak＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的
B．y＝－x D．y＝x
11
交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3
22＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
三、解答题
5．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
2)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝[解析] 解法1：设切点坐标为(x0，x0
x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．
1
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，
211
∴切点坐标为(，)，
24
11|－－2|2472∴所求的最短距离d＝＝. 82解法2：设与抛物线y＝x2相切且与直线x－y－2＝0平行的直线l的方程为x－y＋m＝0(m≠－2)，
??x－y＋m＝0，
由?得x2－x－m＝0.
2
??y＝x
∵直线l与抛物线y＝x2相切， ∴判别式Δ＝1＋4m＝0， 1∴m＝－，
4
1
∴直线l的方程为x－y－＝0，
4
1|－2＋|
472
由两平行线间的距离公式得所求最短距离d＝＝.
82
解法3：设点(x，x2)是抛物线y＝x2上任意一点，则该点到直线x－y－2＝0的距离d＝|x－x2－2||x2－x＋2|2
＝＝|x2－x＋2|
222＝
2172(x－)2＋. 228
17272当x＝时，d有最小值，即所求的最短距离为.
288
6．已知A，B，C三点在曲线y＝x上，其横坐标依次为1，m,4(1 [解析] 如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当直线与曲线相切时，距离达到最大，即当过B点的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大．
高二教材梳理使用资料1.2.1
