高等数学D
高等数学D(一)
一、内容
第一章 函数与极限
第一节:函数
要求:理解函数的概念、会求函数的定义域与函数值。了解函数的几种特性。了解反函数、分段函数、复合函数与初等函数的概念,会求反函数。掌握16个函数及一些常见函数的图形。
第二节: 数列的极限 第三节: 函数的极限
要求:理解数列与函数极限的概念。理解左、右极限的概念、以及极限存在与左右极限之间的关系。
第四节: 无穷小与无穷大
要求:理解无穷小与无穷大的概念及两者的关系,理解无穷小的性质。 第五节: 极限运算法则
要求:掌握极限的四则运算法则。了解复合函数的极限运算法则。 第六节: 极限存在准则,两个重要极限 要求:会用两个重要极限求极限。 第七节: 无穷小的比较
要求:了解无穷小的阶的概念,会用等价无穷小求极限。 第八节: 函数的连续性 第九节:闭区间上连续函数的性质
要求:理解函数在点x0处连续与间断点的概念。了解初等函数的连续性。理解闭区间上连续函数的性质(最值定理、零点定理)。
第二章 导数与微分
第一节: 导数概念
要求:理解可导与导数的概念及导数的表达式。理解左导数与右导数的概念。掌握导数的几何意义(含曲线的切线方程与法线方程)。掌握函数可导性与连续性的关系。
第二节: 函数的与、积、商的求导法则
要求:记16个函数的求导公式及函数的与、差、积、商的求导法则。 第三节: 反函数与复合函数的求导法则 要求:掌握复合函数的求导法则。 第四节: 高阶导数 要求:会求高阶导数。
第五节: 隐含数的导数及由参数方程所确定的函数的导数 要求:会求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数。 第六节: 函数的微分
要求:了解可微与微分的概念。掌握函数的一阶微分。
第三章 中值定理与导数的应用
第一节: 中值定理
要求:熟悉罗尔定理、拉格朗日中值定理的内容。 第二节: 洛必达法则
要求:会用洛必达法则求未定式的极限。 第四节: 函数的单调性与曲线的凹凸性
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要求:掌握用导数判定函数的单调性及曲线的凹凸性的方法。会求曲线的拐点。会用函数的单调性证明简单的不等式。 第五节: 函数的极值与最大、最小值
要求:理解函数的极值与最值的概念,掌握求函数的极值与最值的方法,会解有关最值的应用题。
第四章 不定积分
第一节:不定积分的概念与性质
要求:理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的性质,记11个基本积分公式,掌握直接积分法。 第二节: 换元积分法
要求:掌握第一类换元法、第二类换元法。 第三节: 分部积分法 要求:掌握分部积分法。
第六章 微分方程
第一节:微分方程的基本概念
要求:了解微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解的概念。 第二节:可分离变量的微分方程
要求:掌握可分离变量的微分方程的求解方法。掌握齐次方程的求解方法。 第三节:一阶线性微分方程
要求:掌握一阶线性微分方程的求解方法。 第四节:可降阶的高阶微分方程
要求:掌握前两种类型的高阶微分方程的降阶方法。 第五节:常系数齐次线性微分方程
要求:掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法。
二、试卷结构
《高等数学D(一)》共五道大题:一、填空题(5*3分)二、选择题(5*3分)三、判断题(5*2分)四、计算题(6*7分)五、解答题(2*9分)共100分。
各章比例:第一章10%、第二章25%、第三章21%、第四章22%、第六章22%。
三、练习题 (一)
一、填空题
1?3x?1的定义域就是 。 xsin5x? 。 2.limx?02x1.函数y?3.设f?x?可导,y?ln?f(x)?,则dy= 。 4.不定积分
?xx2?3dx= 。
5.微分方程y???4y??3y?0的通解为________________________、
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二、单项选择题
?x2,0?x?1,在点x?1处必定 ( ) 1.设f(x)???x,1?x?2A.连续但不可导 B.连续且可导
C.不连续但可导 D.不连续,故不可导 2.曲线y?x在点x?4处的切线方程就是 ( )
A.y?14x?1 B.y?12x?1
C.y?14x?1 D.y?14x?2
3.下列函数在区间[?1,1]上满足罗尔定理条件的就是 A.
1x2 B.x3 C.x D.11?x2
4.设f?x?为连续函数,则下列等式中正确的就是 A.
?f?(x)dx?f(x) B.
ddx?f(x)dx?f(x)?C C.d?f(x)dx?f(x) D.d?f(x)dx?f(x)dx 5.微分方程y'?e?12x的通解就是 ( )
xxA.y?e?2?C B.y?e2?C
xC.y??2e?x2?C D.y?Ce?2
三、计算题
1.求极限 limex?x?1x?0x?ex?1?。
2.设函数f(x)???1?sin2x ,x?0 ?a?bx ,x?0 ,在点 x?0处可导,求a,b的值。
3.设参数方程???x?t?1?sint?dy?tcost确定y就是x的函数,求。
??ydx4.设方程y2?2xy?9?0确定隐函数y?y(x),求dydx。 5.求微分方程ylnxdx?xlnydy?0的通解。
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26.求不定积分
??arcsinx?1?x2dx。
37.求不定积分
?x。
1?x2dx8、求微分方程xdydx?y?3?0满足初始条件yx?1?0的特解。
四、解答题
1.求函数f?x??23x??x?1?23的极值。
2.证明不等式:当x?0时,1?xln(x?1?x2)?1?x2。
一、 1、 [?13,0)(0,??) 2、 5f?(x)32 3、
f(x)dx 4、13?x2?3?2?Cy?Cx1e?C2e3x、
二、 1、A 2、C 3、D 4、D 5、C 三、 1、
12 2、a?1,b?2 3、dycost?tsintydx?1?sint?tcost 4、y??y?x ln2y?ln2x?C、 6、13?arcsinx?3?C 7、133(1?x2)2?1?x2?C y?3?3x
四、1、 极大值f?1??23,极小值f?2??0 2、 利用函数的单调性可证明之 (二)
一、
填空题
1、函数f(x)?arcsin(x?4)ex的定义域就是 。
2、若 lim(1x???ax)x?3,则常数a? 。
3、设y?ln4(1?x),则dy? 。 4、不定积分
?x2?3x2dx? 。
5、微分方程y''?4y'?5y?0的通解为 。 二、单项选择题
5、5、8、
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1?2x?0xsin?1、设f(x)??,则f(x)在点x?0处( ) ,xx?0?0,?A.limf(x)不存在; B.limf(x)存在,但f(x)在点x?0处不连续;
x?0x?0C.f'(0)存在; D.f(x)在点x?0处连续,但不可导。 2、函数f(x)?x?1在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理,则定理中的?为( ) xA.?2 B.2 C.?12 D.12 3、曲线y?x?ex点x?0处的切线方程就是( ) A. y?2x?1?0; B.y?2x?2?0; C.y?x?1?0; D.y?x?2?0 4、 微分方程
y???ex的通解为 ( )
A、 y?ex?Cx B、 y?ex?C1x?C2
C、 y?C1ex?C2 D、 y?C1ex?C2x
5、微分方程x2dy?y2dx?x2ydy就是( )
A.可分离变量方程 B.一阶线性方程 C.齐次方程 D.二阶线性方程 三、计算题
1． 求极限limlncos(x?1)。
x?11?sinπ2x2． 讨论函数 f(x)???e|x|,x?0 ,在点?x?1,x?0x?0处就是否连续？就是否可导？
3． 设由方程xy?exy?y?2确定隐函数y?y(x),求
dydx。
x?04． 设由参数方程??x?t?arctant确定y就是x的函数,求d2y?y?ln(1?t2)dx2。(求到一阶)
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