2．3.1 变量之间的相关关系 2．3.2 两个变量的线性相关
学习目标 1.了解变量间的相关关系，会画散点图；2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系；3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程．
知识点一 变量间的相关关系
思考1 粮食产量与施肥量间的相关关系是正相关还是负相关？
答案 在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高，所以是正相关． 思考2 怎样判断一组数据是否具有线性相关关系？
答案 画出散点图，若点大致分布在一条直线附近，就说明这两个变量具有线性相关关系，否则不具有线性相关关系． 梳理
1．相关关系的定义
变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系． 2．散点图
将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图． 3．正相关与负相关
(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．
(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．
知识点二 两个变量的线性相关
思考 任何一组数据都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？
答案 用最小二乘法求线性回归方程的前提是先判断所给数据是否具有线性相关关系(可利用散点图来判断)，否则求出的线性回归方程是无意义的． 梳理 回归直线的方程
(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
(2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程． (3)最小二乘法：
^
^
^
求线性回归方程y＝bx＋a时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
??b＝
?? ?x－x??
?a＝y－bx，
n^
i＝1
ni＝1
i
^
^^
? ?xi－x??yi－y?
＝
2
i＝1
?xiyi－n x y?x2i－nx
n
2
n
，
i＝1
^
其中，b是线性回归方程的斜率，a是线性回归方程在y轴上的截距．
类型一 相关关系的判断与应用 命题角度1 判断两个变量的相关性
例1 为了研究质量对弹簧长度的影响，对6根相同的弹簧进行测量，所得数据如下：
质量(g) 弹簧长度5 7.25 10 8.12 15 8.95 20 9.90 25 10.90 30 11.80 (cm) 判断它们是否有相关关系，若有，判断是正相关还是负相关． 解 散点图如图：
由散点图可以看出两个变量对应的点大致分布在一条直线附近，因此可以得出结论：质量与弹簧长度这两个变量具有相关关系，且它们是正相关关系．
反思与感悟 在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手，对于散点图，可以作出如下判断：
(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，那么就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；
(2)如果所有的样本点都落在某一直线附近，那么变量之间就有线性相关关系；
(3)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规律，那么这两个变量之间不具有相关关系，即两个变量之间是相互独立的．
跟踪训练1 下表是某地的年降雨量与年平均气温的统计表，判断两者是否具有相关关系，求线性回归方程有意义吗？
年平均气温(℃) 年降雨量(mm) 12.51 748 12.74 542 12.64 507 13.69 813 13.33 574 12.84 701 13.05 432 解 以x轴为年平均气温，y轴为年降雨量，可得相应的散点图如图．
因为图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合，即使用公式法求出线性回归方程也是没有意义的． 命题角度2 函数关系与相关关系的区别与联系 例2 下列关系中，是相关关系的是________． ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 答案 ②④
解析 ①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人达到一定年龄后，身高就不发生明显变化了，所以它们不具有相关关系；④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 反思与感悟 相关关系与函数关系的区别与联系如表所示：
相同点 函数关系 相关关系 两者均是指两个变量之间的关系 是一种确定性关系 是一种非确定性关系 ①一个为变量，另一个为随机变量； 是两个变量之间的关系 不同点 是一种因果关系 是一种理想的关系模型 ②两个都是随机变量 不一定是因果关系，也可能是伴随关系 是更为一般的情况 跟踪训练2 下列图形中两个变量具有相关关系的是( )
答案 C
解析 A是一种函数关系；B也是一种函数关系；C中从散点图中可看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关；D中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的． 类型二 回归直线的求解与应用
例3 一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：
转速x(转/秒) 每小时生产有缺点的11 零件数y(件) (1)画出散点图；
(2)如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；
516
(3)在实际生产中，若它们的近似方程为y＝x－，允许每小时生产的产品中有缺点的零件
707最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ 解 (1)散点图如图所示：
9 8 5 16 14 12 8
(2)近似直线如图所示：
第二章 2.3.1-2.3.2 变量之间的相关关系、两个变量的线性相关
