《第三章 数系的扩充与复数的引入》教材分析
数系的扩充与复数的引入是选修1-2与选修2-2的内容,是高中生的共同数学基础之一.数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程,同时了数学产生、发展的客观需求,复数的引入襀了中学 阶段数系的又一次扩充.
《课标》将复数作为数系扩充的结果引入,体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化.这部分内容的学习,有助于学生体会理论产生与发展的过程,认识到数学产生和发展既有来自外部的动力,也有来自数学内部的动力,从而形成正确的数学观;有助于发展学生的全新意识和创新能力.
复数的内容是高中数学课程中的传统内容.对于复数,《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系;理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义;能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
本章内容分为2节,教学时间约4课时.
第一节 数系的扩充和复数的概念
本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义(几何表示和向量表示). ●教学目标
(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.
(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. (3)了解复数的代数表示法及其几何意义. ●教学重点
(1)数系的扩充过程.
(2)复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件. (3)复数的几何意义. ●教学难点
(1)虚数单位i的引进. (2)复数的几何意义. ●教学时数
本节教学,建议用2课时.第1课时处理数系的扩充和复数的概念;第2课时研究复数的几何意义.
●课标对本节内容的处理特点
数系的扩充和复数的概念,《课标》与《大纲》教学内容相同,但在处理方式和目标定位上存在差异:
(1)《课标》将复数作为数系扩充的结果引入.《大纲》教科书先安排复数的概念,再研究复数的运算,最后介绍数系的扩充.《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念,力求还原复数的发现与建构过程.
(2)《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.从这上点上看,《课标》要求提高了.
(3)在复数的代数表示法及其几何意义上,《课标》的教学定位是“了解”,而《大纲》要求“掌握”.从这上点上看,《课标》要求降低了. ●教学建议
1.关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议
(1)课题的引入.教学时,可从方程在给定范围内是否有解提出问题: ① 在自然数集N中,方程x?1?0有解吗? ② 在整数集Z中,方程2x?1有解吗?
③ 在有理数集Q中,方程x2=2有解吗?
④ 在实数集R中,方程.有解吗?
(2)回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程.帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征.可让学生思考如下问题:
① 从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充? ② 每一次扩充的主要原因是什么? ③ 每一次扩充的共同特征是什么? 然后师生共同归纳总结:
扩充原因:① 满足实际问题解决的需要;② 满足数学自身完善和发展的需要.
扩充特征:① 引入新的数;② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展.
(3)提出新的问题:如何对实数集进行扩充,使方程x2?1?0在新的数集中的解?
(4)引入虚数单位i. (5)学习复数的概念. (6)规定复数相等的意义. (7)研究复数的分类.
(8)告诉学生“两个复数只能说相等或不相等,不能比较大小”的理由:
① a?bi?c?di?a?c,b?d;在a?c,b?d两式中,只要有一个不成立,则a?bi?c?di.
② 如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则,不能比较大小.
③ “不能比较大小”的确切含义是指:不论怎样定义两个复数之间的一个关系“<”,都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质:
对于任意实数a,b来说,a?b,a?b,b?a这种情况有且只有一种成立; 如果a?b,b?c,那么a?c; 如果a?b,那么a?c?b?c; 如果a?b,0?c,那么ac?bc.
2.关于“复数的几何意义”的教学建议
(1)帮助学生认识复数的几何表示.复数的几何表示就是指用复平面内的点Z(a,b)来表示复数z?a?bi.
① 明确“复平面”的概念.
② 建立复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系,即 复数z?a?bi 复平面内的点Z(a,b).
(2)帮助学生认识复数的向量表示.复数的向量表示就是指用复平面内的向uuur量OZ来表示复数z?a?bi.
一一对应 uuur①认识复平面内的点Z(a,b)与向量OZ的一一对应关系. ② 在相互联系中把握复数的向量表示:
复数z?a?bi
一一对应 一一对应
uuur点Z(a,b) 一一对应 向量OZ
(3)用数形结合的思想方法,强化对复数几何意义的认识.
在复平面内,实数与实轴上的点一一对应,纯虚数与虚轴上的点(原点除外)一一对应,非纯虚数的虚数与象限内的点一一对应.可通过一组练习题来强化这一认识.
第二节 复数代数形式的四则运算
本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义,复数代数形式的乘除运算. ●教学目标
(1)掌握复数代数形式的加减运算法则.
(2)了解复数代数形式的加减运算的几何意义. (3)理解复数代数形式的乘除运算法则. (4)体验复数问题实数化的思想方法. ●教学重点
(1)复数代数形式的加减运算及其几何意义. (2)复数代数形式的乘除运算.
(3)复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用. ●教学难点
(1)复数代数形式的加减运算的规定.
(2)复数代数形式的加减运算的几何意义的理解. (3)复数代数形式的乘除运算法则的运用. ●教学时数
本节教学,建议用2课时.第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义;第2课时研究复数代数形式的乘除运算. ●课标对本节内容的处理特点
高中数学(人教A版选修)教案:章《数系的扩充与复数的引入》教材分析
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