例9、设向量组
?1?(1,2,1,3)?,?2?(4,?1,?5,?6)?,?3?(?1,?3,?4,?7)?,?4?(2,1,2,3)?
求（1）向量组的秩；
（2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大线性无关组线性表示。
七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题
P?1AP?B
相似矩阵的性质:
1、相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式，迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。
2、 相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。 3、 相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 4、若A与B相似，则Ak与Bk相似，k?N，则?(A)与?(B)相似。 Bk?(P?1AP)k?P?1APP?1AP...P?1AP?P?1AkP
??1??2An与?????????相似 ???n?且以它们为列向量组?An有n个线性无关的特征向量p1,p2,...,pn，
的矩阵P使P?1AP??， ?1,?2,...,?n分别为与p1,p2,...,pn对应的An的特征值。
若An有n个互不相等的特征值?1,?2,...,?n，则An一定与
??1??2?????????相似。 ???n?An与?相似?对应于An的每个特征值的线性无关的特征向量的个数
等于该特征值的重数。
?n?r(?E?A)?k 其中k为?的重数
?1?2?4??500?????2x?2B?0y0例10、设矩阵A??与????相似 ??4?21??00?4?????（1） 求x与y；
（2）求可逆矩阵P，使P?1AP?B。
?001???例11、设A??11a? ，问a为何值时，矩阵A能相似对角化。
?100??? 例12、设三阶矩阵A的特征值为?1?1，?2?2，?3?3，对应的特征
向量依次为?1??1,1,1?，?2??1,2,4?，?3??1,3,9?，求矩阵A。
/// 例13、设三阶实对称矩阵A的特征向值?1,1,1 ，与特征值?1对应的特征向量为?1???1,1,1??，求A。
八、化二次型为标准型，并求所用线性变换的矩阵
例14、化二次型f(x1,x2,x3)?x12?5x22?6x32?4x1x2?6x1x3?10x2x3为标准型，并求所用可逆线性变换的矩阵。
例15、化二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?6x2x3为标准形，并求所用可逆线性变换的矩阵。
线性代数考试复习提纲、知识点、例题
