线性代数考试复习提纲、知识点、例题
一、行列式的计算（重点考四阶行列式）
1、利用行列式的性质化成三角行列式
行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转
置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】
2、行列式按行（列）展开定理降阶
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D?ai1Ai1?ai2Ai2?...?ainAin i?1,2,...,n
D?a1iA1i?a2iA2i?...?aniAni i?1,2,...,n
?22?110?435051例1、计算行列式
432?2?3
二、解矩阵方程
矩阵方程的标准形式：AX?B XA?B AXB?C 若系数矩阵可逆，则X?A?1B X?BA?1 X?A?1CB?1 切记不能写成X?A?1B?1C或X?求逆矩阵的方法：
1、待定系数法AB?E(或BA?E) 2、伴随矩阵法A?1?1?A AC AB其中A?叫做A的伴随矩阵，它是A的每一行的元素的代数余
子式排在相同序数的列上的矩阵。
?A11?AA???12?...??A1nA21...An1??A22...An2?
.........??A2n...Ann?初等行变换3、初等变换法?AE???????EA?1?
例2、解矩阵方程??3?1??56??1416??X????? ?5?2??78??910??010??1?1?????111B?20例3、解矩阵方程 X?AX?B ，其中 A?? ???? ??10?1??5?3?????三、解齐次或非齐次线性方程组
设A??aij?m?n，n元齐次线性方程组AX?0有非零解?r(A)?n
n元齐次线性方程组AX?0只有零解?r(A)?n。
当m?n时，n元齐次线性方程组AX?0只有零解?A?0。 当m?n时，n元齐次线性方程组AX?0有非零解?A?0。
当m?n时，齐次线性方程组一定有非零解。 定义：设齐次线性方程组AX?0的解?1,...,?t满足： （1） ?1,...,?t线性无关，
（2） AX?0的每一个解都可以由?1,...,?t线性表示。 则?1,...,?t叫做AX?0的基础解系。
定理1、设Am?n，齐次线性方程组AX?0，若r(A)?r?n，则该方程组
的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于n?r。
齐次线性方程组的通解x?k1?1?...?kn?r?n?r k1,...,kn?r?R
设A??aij?m?n，n元非齐次线性方程组AX?B有解?r(A)?r(A)。
唯一解?r(A)?r(A)?n。
无数解?r(A)?r(A)?n。
无解?r(A)?r(A)。
非齐次线性方程组的通解x?k1?1?...?kn?r?n?r??， k1,...,kn?r?R
?x1?x2?2x3?x4?0?例4、求齐次线性方程组?2x1?x2?x3?x4?0的通解
?2x?2x?x?2x?0?1234?x1?x2?3x3?x4?1?例5、求非齐次线性方程组?3x1?x2?3x3?4x4?4的通解。
?x?5x?9x?8x?0234?1四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论
??x?y?z?0?例6、当?为何值时，齐次线性方程组?x??y?z?0有非零解，并求解。
?2x?y?z?0???2x1?x2?x3??2?例7、已知线性方程组?x1?2x2?x3??，问当?为何值时，它有唯
?x?x?2x??23?12一解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。
五、向量组的线性相关性
?1,?2,...,?s线性相关??1,?2,...,?s(s?2)中至少存在一个向量能由其余
向量线性表示。
?存在不全为0的数k1,k2,...,ks使得k1?1?k2?2?..?ks?s?0。
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