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2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛
B题参考答案
注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
问题：
钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以
下简称卡车）运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。
露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。一般来说，平均铁含量不低于 25%的为矿石，否则为岩石。 每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。每个铲 位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为 5 分钟。卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2 个铁路倒装场（以下简称倒装场） 和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。从保护国家资源的角度及 矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5% 1%，称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8 小时）内满足 品位限制即可。从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。卡车的平均卸车时间为3 分钟。所用卡车载重量为 154 吨，平均时速 28kmh 。卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近 1 吨柴油。发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始 工作时点火一次。卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发 生卡车等待的情况。电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。卡车每次都是满载运输。
每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽 60 m 的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲，分别在
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哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间 都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）。一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：
1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；
2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。
请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。
某露天矿有铲位 10 个，卸点 5 个，现有铲车 7 台，卡车 20 辆。各卸点一个班次的 产量要求：矿石漏 1.2 万吨、倒装场Ⅰ1.3 万吨、倒装场Ⅱ1.3 万吨、岩石漏 1.9 万吨、 岩场 1.3 万吨 问题分析：
本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次；
6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。
运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实
7现；第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从C10?120个
整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。
对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。另外，这
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是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。
调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。
这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。
合理的假设主要有：
1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况；
2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务
即可，不进行排时讨论；
3. 空载与重载的速度都是28km/h，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量； 4. 卡车可提前退出系统。
符号：xij ~ 从i号铲位到j号卸点的石料运量 单位 吨；
cij ~ 从i号铲位到j号卸点的距离 公里；
Tij ~ 从i号铲位到j号卸点路线上运行一个周期平均所需时间 分； Aij ~ 从i号铲位到j号卸点最多能同时运行的卡车数 辆； Bij ~ 从i号铲位到j号卸点路线上一辆车最多可以运行的次数 次； pi ~ i号铲位的矿石铁含量。 %
p =(30,28,29,32,31,33,32,31,33,31)
qj ~j号卸点任务需求 吨
q=(1.2,1.3,1.3,1.9,1.3)*10000
cki ~ i号铲位的铁矿石储量 万吨 cyi ~ i号铲位的岩石储量 万吨
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2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题竞赛参考答案(优选.)
