小刘老师亲笔
北师大版九年级数学
初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题
知识点：
1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。 a2?b2?c2 （勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理） 2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：
B
对斜边 c a 边b
A C 邻边
定 义 表达式 取值范围 关 系 ?A的对边正0?sinA?1 a sinA? sinA?c斜边弦 (∠A为锐角) ?A的邻边0?cosA?1 余b cosA? cosA?c(∠A为锐角) 斜边弦 ?A的对边tanA?0 正a tanA? tanA?b(∠A为锐角) ?A的邻边切 sinA?cosB cosA?sinB sin2A?cos2A?1 ?A的邻边btan A?cot A?1 cot A?cot A?0 余cot A??A的对边a切 (∠A为锐角) cotA?tanB （注：余切函数已经从北师大版教材当中删除，此处仅做扩展，实际中考当中并不会出现，同时删除的内容还包含正割(sec)和余割(csc)两部分内容） 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 sinA?cosBcosA?sinB由?A??B?90?得?B?90???A sinA?cos(90??A)cosA?sin(90??A) 60° 32124、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要必背) 三角函数 sin? cos? 30° 1245° 2222 32 tan? 331 3
- 1 -
小刘老师亲笔
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤?≤90°时，sin?随?的增大而增大，cos?随?的增大而减小。 7、正切、的增减性：
当0°
解直角三角形的定义
1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：a2?b2?c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 铅垂线仰角俯角视线水平线h i?h:llα视线 h。坡度一般写成1:ml(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i?的形式，如i?1:5等。 h?tan?。 l3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 ，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
所以,OA、OB、OC、OD的方向角分别是： 北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
把坡面与水平面的夹角记作?(叫做坡角)，那么i?
3例1：已知在Rt△ABC中，?C?90°，sinA?，则tanB的值为（ ）
54453A． B． C． D．
3544
ab，tanB?ca3b4x4和a2?b2?c2；由sinA?知，如果设a?3x，则c?5x，结合a2?b2?c2得b?4x；∴tanB???，
5a3x3【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC中，∠C=90°，则sinA?所以选A．
- 2 -
小刘老师亲笔
例2：4cos30?sin60??(?2)?1?(2009?2008)0=______．
【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算，
4cos30?sin60??(?2)?1?(2009?2008)0=4?33?1?3??????1?， 22?2?2故填
32．
1. 某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A．8米
B．83米 C．83米 3D．43米 3
2. 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角是40°，则梯子底端到墙的距离为（ ） 55A．5sin40° B．5cos40° C． D． tan40°cos40°3. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ） A．83m B．4 m 3A 1B C h D C．43m D．8 m
4. 河堤横断面如图所示，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比是1:3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ） A．53 米 B． 10米 C．15米 D．103米
BCA 5．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE的长度是（ ） A．3 B．5 C．52 D．
252- 3 -
小刘老师亲笔
6. 如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为 米（精确到0.1）. （参考数据：2≈1.414 3≈1.732）
7. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°，热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度.
解：过点A作直线BC的垂线，垂足为点D. 则?CDA?90°，?CAD?60°，?BAD?30°，CD=240米. CD在Rt△ACD中，tan?CAD?， BAD?AD?CD240??803. tan60°3 C
在Rt△ABD中，tan?BAD??BD?AD·tan30°?803?BD， AD
3?80. 3?BC?CD?BD?240?80=160. 答：这栋大楼的高为160米.
- 4 -
小刘老师亲笔
8. 如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少米？
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由． （参考数据：2?1.141，3?1.732，6?2.449，以上结果均保留到小数点后两位．）
解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=45° ∴AC=BC=AB·sin45°=4?2?22 2在Rt△ADC中，∠ADC=30° AC1∴AD= ?22??42 2sin30o∴AD-AB=42?4?1.66 ∴改善后滑滑板会加长约1.66米.
（2）这样改造能行，理由如下： ∵CD?AC3?22??26?4.989 o3tan30∴BD?CD?BC?26?22?2.07 ∴6-2.07≈3.93＞3 ∴这样改造能行.
练一练
?1?9．求值|3?2|?20090?????3tan30°?3?
?1?1?2sin60°?3tan30°????(?1)2009?3?
0原式=． 解：原式=
- 5 -
小刘老师亲笔
- 6 -
北师大版九年级数学下册第一章三角函数知识点总结及典型习题（超级详细）
