(新教材)高中数学人教A必修第一册同步练习：1.4 充分条件与必要条件

由天下分享时间：2025/1/29 5:47:46 加入收藏我要投稿点赞

1.4 充分条件与必要条件

课后篇巩固提升

基础达标练

1.“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析由“四边形是平行四边形”不一定得出“四边形是正方形”,但由“四边形是正方形”必推出“四边形是平行四边形”,故“四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 答案B 2.设a,b∈R,则“a>b”是“a2>b2”的( ) A.充分必要条件

B.既不充分也不必要条件

C.充分不必要条件 D.必要不充分条件解析若a=1,b=-4,满足a>b,此时a2>b2不成立;

若a2>b2,如a=-4,b=1,此时a>b不成立. 答案B 3.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的( )条件. A.充分不必要 C.充要答案A 4.已知p:a≠0,q:ab≠0,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件答案B 5.(2020重庆高一检测)已知p:-1

解析因为q是p的必要不充分条件,即p?q,则m+1>3,解得m>2,即实数m的取值范围是{m|m>2}. 答案{m|m>2}

6.设x,y∈R,求证:|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

证明充分性:如果xy=0,那么,①x=0,y≠0;②x≠0,y=0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y|.

如果xy>0,即x>0,y>0或x<0,y<0, 当x>0,y>0时,|x+y|=x+y=|x|+|y|,

当x<0,y<0时,|x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|,总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|.

D.既不充分也不必要条件

解析a≠0,不一定有ab≠0,如b=0时;但是ab≠0则一定需a≠0.

B.必要不充分 D.既不充分也不必要

解析当“a=2”时,显然“A∩B={4}”;但当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.

必要性:由|x+y|=|x|+|y|及x,y∈R,得(x+y)2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,得|xy|=xy,所以xy≥0,故必要性成立.

综上,原命题成立.

能力提升练

1.(多选题)有以下说法,其中正确的为( ) A.“m是有理数”是“m是实数”的充分条件 B.“x∈A∩B”是“x∈A”的必要条件 C.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件 D.“x>3”是“x2>4”的充分条件

解析A正确,由于“m是有理数”?“m是实数”,所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件;

B不正确,因为“x∈A”“x∈A∩B”,所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件; C正确,由于“x=3”?“x2-2x-3=0”,故“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件; D正确,由于“x>3”?“x2>4”,所以“x>3”是“x2>4”的充分条件. 答案ACD 2.(多选题)下列不等式:

①x<1;②0

A.① 答案BCD 3.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的条件.(填“充分”或“必要”) 解析当A∩B={4}时,m2=4,所以m=±2.

所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件. 答案充分

4.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是 ,若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是 .

解析因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0. 答案{a|a≤0} {a|a≥0}

5.已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0. 证明必要性:因为a+b=1,所以a+b-1=0.

所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0. 充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,所以a≠0且b≠0.

因为a2-ab+b2=(??-2)+4b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.综上可得,当ab≠0时,a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.

??2

B.② C.③ D.④

解析由于-1

素养培优练