第二章 数学基础
2.1 引言
机器人操作手的研究涉及物体之间以及物体与操作手之间的关系。在这一章中，我们将研究描述这些关系所需的表示方法。在同样必须描述物体之间关系的计算机制图学领域中，已经解决了类似的表示方法问题。在该领域以及计算机视觉方面使用了齐次变换。这些变换以前Denavit用来描述连杆机构。而现在我们用这些变换来描述操作手。
我们将首先建立向量和平面的符号，再在这些符号基础上引入变换。这些变换主要由移动和转动所组成。接着将表明，这些变换也可以作为表示包括操作手在内的物体的坐标架。然后将引入逆变换。后一节叙述绕任一向量旋转的一般旋转变换。再介绍一种算法，以用来找出用任何已知变换表示的等效旋转轴和等效旋转角。伸张和缩放变换的一小节，连同透视变换一节也包含在本章中。这一章用一节关于变换方程的内容来作为结尾。
2.2 符号
在描述物体间关系时，我们将利用点向量、平面和坐标架。点向量用小写黑体印刷符号表示，平面用手写体印刷符号表示，坐标架则用大写黑体印刷符号表示。例如：
向量 v, xl, x
平面 ?，????
坐标架 I, A, CONV
我们将把点向量、平面和坐标架作为具有关联数值的变量使用。例如，一个点向量就具有三个笛卡尔坐标分量。
如果希望相对于坐标架E来描述空间一个称为p的点我们将用一个称为ｖ的向量，并将这一向量写成
EV
前置的上标表示所定义的坐标架。
我们也可以利用向量w相对于例如H这样的不同坐标架，来描述相同的点p为
HW
v和w是两个很可能具有不同分量的向量，虽然两个向量描述相同的点p，但v?w。也可
能存在这种情况，用一个向量a来描述在任一坐标架上面3英寸地方的一个点
F1a
F2a
在这一情况中，向量是完全相同的，但是描述了不同的点，通常文中定义的坐标架是明显的，这时上标就不用。在许多情况中，向量的名称将与被描述的物体的名称相同，例如，销的末端可以用相对于坐标架BASE的向量tip来描述
BASEtip
如果文中相对于BASE描述向量是明显的，则我们可以简单地写为
tip
如果还希望相对于另一坐标架HAND来描述这一点，则我们必须用另一向量来描述这一关系，例如
HANDtv
tv和tip两者描述相同的物件，但有着不同的值。为了涉及到坐标架、向量或平面的
HANDtv有分量HANDtvx，HANDtvy，每一分量，我们添加下标来表示特定分量。例如，矢量
HANDHANDtvz。
2.3 向量
在n维空间中物体的齐次坐标表达式是一个（n+1）维空间实体，这样一个特定的透视
投影即重新建立了该n维空间。这也可以被视为对每个向量加上一个外加坐标（比例因子）。这样，如果包括比例因子的每个分量乘以一常数，向量含义不变。
一个点向量
v?ai?bj?ck （2-1）
式中i，j和k分别是沿x，y 和z 坐标轴的单位向量。在齐次坐标中用一列矩阵来表示点向量
?x??y?v??? （2-2）
?z????w?式中
a?xwb?yw （2-3） c?zw于是能够把向量3i?4j?5k写成?3451?T,或者?68102?，或者再写成为
T??30?a?40?50?10?等等。上标T指明行向量转置为列向量。在原点处的向量（零向量）
000?是非限定向量。形式为
TT被写成?000n?T,式中n是任意非零比例因子，?0Tbc0?的向量表示无限大向量，并被用来表示方向：加上其它任一有限向量，都不
会改变它的大小。
我们也将使用向量的点乘和叉乘，给出二个向量
a?axi?ayj?azk （2-4）
b?bxi?byj?bzk我们规定向量点乘用“?”表示为
a?b?axbx?ayby?azbz （2-5）
二向量的点乘是一个标量。用“?”标明的叉乘，是垂直于两相乘向量所形成平面的另一向量，用下式表示
a?b?(aybz?azby)i?(azbx?axbz)j?(axby?aybx)k （2-6）
这一定义作为行列式展开更易于记忆
?ia?b???ax?bx?jaybyk??az? （2-7） bz??2.4 平面
一个平面可以用一个行矩阵来表示
?????????????????????????????????????
??a,b,c,d? （2-8）??
V这样，如果点v位于?平面中，矩阵乘积
?0 （2-9）
或展开为
xa?yb?zc??d?0 （2-10）
如果我们定义一常数 将方程2-10除以?m得
m??a2?b2?c2 （2-11）
xaybzcd???? （2-12） ?m?m?mm方程2-12左边是(x/?)i?(y/?)j?(z/?)k和(a/m)i?(b/m)j?(c/m)k两向量的点乘，表示点(x/?)i?(y/?)j?(z/?)k沿向量(a/m)i?(b/m)j?(c/m)k的指向的距离。向量(x/?)i?(y/?)j?(z/?)k可被理解为是在法线方向上离原点距离为?dm的平面的一条外指法线。于是平行于x,y平面，沿z一个单位的平面可表示为
P?[0,0,1,?1] （2-13） 或 P?[0,0,2,?2] （2-14） 或 P?[0,0,?100,100] （2-15）
点v??10,20,1,1?将落在这一平面中
?10??20???0 （2-16） ?0,0,?100,100???1????1?或
??5???10???0 （2-17） ?0,0,1,?1????0.5?????0.5?点v?0,?0,2,1?位于平面上面
?0??0???2 （2-18） ?0,0,2,?2???2????1?v实际是正数，表明点在平面之外，而在外指法线方向上。点v??0,0,0,1?位于平
面之下
?0??0????1 （2-19） ?0,0,1,?1???0????1?平面0,?0,0,0?是非限定的。
2.5 变换
空间变换H是一个4?4矩阵，能够用来表示移动，转动。伸展和透视变换。给出一点u，它的变换v矩阵乘积表示为
v?Hu （2-20） 从?到???的相应平面变换为
这是因为我们要求条件
=H-1 （2-21）
v?H-1H为单位矩阵I，故得
u （2-22）
在所有变换中不变。为了证实这一点，我们将公式2.20和2.21代入公式2.22的左边。由于
H-1Hu=u （2-23）
2.6 移动变换
相应于用向量ai?bj?ck表示的移动变换H是
?100a??010b?? （2-24） H?Trans(a,b,c)???001c????0001?T给出向量u?(x,y,z,?),则得变换后的向量v为
?100a??x??010b??y???? （2-25） v???001c??z?????0001?????
?x?a???x??a??y?b???y??b????? （2-26） v???z?c???z??c?????????1?移动也可以解释为两个向量(x?)i?(y?)j?(z?)k与ai?bj?ck之和。
如同点和平面一样，变换矩阵的每个元素，可乘以一非零常数而变换不变。现考虑将矢量2i?3j?2k移动，或是与4i?3j?7k相加
?6??1?0??0?????9??0????1??04??2??3?10?3???? （2-27）
017??2????001??1?00如果把变换矩阵元素乘以?5，而将向量元素乘以2，我们得到
?-60???500?20??4??0??0?5015??6???????? （2-28） ?-90??00?5?35??4???????-10000?5?????2?这和上述向量?6,0,9,1?一致。点?2,3,2,1?落在平面?1,0,0,?2?中
?2??3???0 （2-29） ?1,0,0,?2???2????1?TT正如我们已得到的一样，变换点是?6,换是
0,9,1?。现在我们来计算变换后的平面。逆变
00?4?103?? 01?7??001?00?4?103?? （2-30） 01?7??001?T?1?0??0??0而变换后的平面是
?1?0?100?6???100?2???0??0变换后的点再次落在变换后的平面中
?6??0???0 （2-31） ?100?6???9????1?
机器人学第二章(数学基础)
