∴△CAE∽△CBA， ∴
CEAC?， ACCBAC225∴CE＝， ?CB62511＝； 6611∴BE＝1或；
6∴BE＝6?
（3）解：设BE＝x， 又∵△ABE∽△ECM， ∴
CMCECM6?x??，即：， x5BEABx2619∴CM＝-+x=-(x-3)2+， 5555116(x-3)2+， 5516∴当x＝3时，AM最短为，
5∴AM＝5?CM=又∵当BE＝x＝3＝
1BC时， 2∴点E为BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴AE＝AB2-BE2=4，
此时，EF⊥AC，
12， 51161296=． S△AEM＝创25525∴EM＝CE-CM=2223． (1)PM＝PN， PM⊥PN；(2)△PMN是等腰直角三角形，理由详见解析；(3)【解析】 【分析】
（1）利用三角形的中位线得出PM＝
49． 211CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用2211BD，PN＝BD，即可得22三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
△PMN的面积最大，AM，（3）方法1、先判断出MN最大时，进而求出AN，即可得出MN最大＝AM+AN，
最后用面积公式即可得出结论．
方法2、先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可． 【详解】
解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点， ∴PN∥BD，PN＝
1BD， 21CE， 2∵点P，M是CD，DE的中点， ∴PM∥CE，PM＝
∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， ∴PM＝PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN＝∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCA， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°， ∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN， （2）由旋转知，∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN＝∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM＝∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
11BD，PM＝CE， 22＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC ＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACB+∠ABC＝90°， ∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
（3）方法1、如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形， ∴MN最大时，△PMN的面积最大， ∴DE∥BC且DE在顶点A上面， ∴MN最大＝AM+AN， 连接AM，AN，
在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°， ∴AM＝22，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝52， ∴MN最大＝22+52＝72， ∴S△PMN最大＝
111149PM2＝×MN2＝×（72）2＝． 222241BD， 2方法2、由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝∴PM最大时，△PMN面积最大， ∴点D在BA的延长线上， ∴BD＝AB+AD＝14， ∴PM＝7， ∴S△PMN最大＝
11249PM2＝×7＝ 222
【点睛】
本题考查旋转中的三角形,关键在于对三角形的所有知识点熟练掌握.
224．（1）y?x?2x?3
273m??时，S最大为
28?333333??333333???（1）（－1，1）或?????2?2，?或???2?2，?或（1，－1） 2222????【解析】
试题分析：（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式． （2）设出M点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答；
（1）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合，即可得出结论． 试题解析：解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），
?9a?3b?c?0?c??3 将A（－1，0），B（0，－1），C（1，0）三点代入函数解析式得：??a?b?c?0??a?1?2解得：?b?2，所以此函数解析式为：y?x?2x?3．
?c??3?（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为：（m，m2?2m?3），
111327×1×1×1×1=-（m+）2+（-m2?2m?3）+×（-m）-×， 22228327-． 当m=-时，S有最大值为：S=
28∴S=S△AOM+S△OBM-S△AOB=
（1）设P（x，x2?2x?3）．分两种情况讨论： ①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PB∥OQ， ∴Q的横坐标的绝对值等于P的横坐标的绝对值， 又∵直线的解析式为y=-x，则Q（x，-x）． 由PQ=OB，得：|-x-（x2?2x?3）|=1
?333333??3?33??，?解得： x=0（不合题意，舍去），-1， ，∴Q的坐标为（－1，1）或?或???22222???333333??????2?2，?； 22??②当BO为对角线时，如图，知A与P应该重合，OP=1．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=1，Q横坐标为1，代入y=﹣x得出Q为（1，﹣1）． 综上所述：Q的坐标为：（－1，1）或????333333??333333??，???，?或． ?????2?或（1，－1）2222222????
点睛：本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解． 25．见解析. 【解析】 【分析】
分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P． 【详解】
如图，点P为所作．
【点睛】
本题考查了作图?应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 26．见解析 【解析】 【分析】
根据∠ABD=∠DCA，∠ACB=∠DBC，求证∠ABC=∠DCB，然后利用AAS可证明△ABC≌△DCB，即可证明结论． 【详解】
证明：∵∠ABD=∠DCA，∠DBC=∠ACB ∴∠ABD+∠DBC=∠DCA+∠ACB 即∠ABC=∠DCB 在△ABC和△DCB中
陕西省西安市2019-2020学年中考第一次质量检测数学试题含解析
