58．【2012-1 4分】________。
59．【1996-1 3分】函数在点处沿点指向的方向导数为____________. 60．【2005-1 4分】设函数，单位向量，则=________ 61.【2001-1 3分】设则
常考题型四：极值
1．无条件极值
62．【2003-1 4分】已知函数在点的某个邻域内连续，且，则（） 点不是的极值点. 点是的极大值点. 点是的极小值点.
根据所给条件无法判断点是否为的极值点.
63.【2014-2 4分】设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（）．
（A）的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；
（C）的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上 64．【2009-1 4分】设函数的全微分为，则点（） 不是的连续点
不是的极值点.
是的极大值点是的极小值点
65．【2011-1 4分】设函数具有二阶连续导数，且，，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( )
(A) ，． (B)，． (C)，． (D)，．
66.【2011-2 4分】设函数均有二阶连续导数，满足且，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是( )
(A) (B) (C) (D)
67．【2009-1,3 9分】求二元函数的极值.
68．【2004-1 12分】设是由确定的函数，求的极值点和极值.
69.【2011-3 10分】已知函数具有连续的二阶偏导数，是的极值，，求. 70．【2012-1,2 10分】求的极值。 71．【2013-1 10分】求函数的极值. 72.【2015-2 10分】已知函数满足， ，求的极值
【小结】：计算函数无条件极值的工具主要是如下两个定理： 1）必要条件：设函数在点具有偏导数，且在该点有极值，则有.
2）充分条件：设函数在点的某邻域内具有连续的一阶及二阶偏导数，又设.令 （回忆定理）
若，则函数在点具有极值.当时取得极小值；当时取得极大值. 若，则函数在点没有极值.
若，则函数在点可能有极值，也可能没有极值.
2．条件极值
73．【2006-1 4分】设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（）
若，则若，则 若，则若，则
74．【2008-1 11分】已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点 75．【2007-1 11分】求函数在区域上的最大值和最小值.
76．【2005-2 10分】已知函数的全微分，并且，求在椭圆域上的最大值和最小值. 77．【2008-2 11分】求函数在约束条件和下的最大值与最小值.
78.【2008-1,2 11分】已知函数，曲线C：，求在曲线C上的最大方向导数.
79．【1999—3 6分】设生产某种产品必须投入两种要素，和分别为两要素的投入量，为产出量，若生产函数为，其中、为正常数，且.假设两种要素的价格分别为和，试问：当产出量为时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小
80.【2000-3 6分】假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是
其中和分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，和分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即
(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；
(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.
81．【2010-3 10分】求函数在约束条件下的最大值和最小值 .
82．【2002-1 7分】设有一小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的区域为，小山的高度函数为
（1）设为区域上的一个点，问在该点沿平面上沿什么方向的方向导数最大若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式
（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在的边界曲线上找出使（1）中的达到最大值的点，试确定攀登起点的位置
83．【2012-3 10分】某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为（件）和（件），且固定两种产品的边际成本分别为（万元/件）与（万元/件）。
1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(万元)
2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小求最小的成本。 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义。 84.【2013-2 11分】求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
【小结】：拉格朗日乘数法是我们处理条件极值问题的主要方法，现对其应用过程总结如下：要求函数在约束条件下的极值点.方法：
1）作拉格朗日函数 2）解方程
（这三个方程其实是找三元函数的驻点）
3）根据实际条件判断所求出的点是极大值还是极小值.
常考题型五：空间曲线的切线与法平面*（数一）
85．【1992-1 3分】在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（） 只有1条只有2条至少有3条不存在
86．【2001-1 3分】设函数在点附近有定义，且则（）
曲面在点的法向量为 曲线在点的切向量为 曲线在点的切向量为
【小结】：考试对曲线的切线与法平面的考查仅限于计算，考生只需记住相应的计算公式即可.相关公式可以这样总结：曲线在曲线上对应于的一点的切向量为，由几何意义可知该向量是切线的方向向量，也是法平面的法向量.再由切线和法平面都要过点可以得到它们的方程分别为与
常考题型六：空间曲面的切平面与法线*（数一）
87．【1993-1 3分】由曲线绕轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为
88．【1994-1 3分】曲面在点处的切平面方程为 89.【2014-1 4分】曲面在点处的切平面方程为． 90．【2000-1 3分】曲面在点的法线方程为
91．【2003-1 4分】曲面与平面平行的切平面的方程是
92．【1997-1 6分】设直线在平面上，而平面与曲面相切于点，求、之值. 93.【2013-1 4分】曲面在点处的切平面方程为（） （A） （B） （C） （D）
【小结】：曲面的切平面和法线相关知识点与上一节类似：曲面在曲面上一点处的法向量为，由几何意义可知该向量是切平面的法向量，也是法线的方向向量.再由切平面和法线都要过点可以得到它们的方程分别为与.
参考答案
1．【1994-1 3分】【答案】 2．【1997-1 3分】【答案】 3．【2002-1 3分】【答案】 4．【2003—3 4分】【答案】 5．【2007-1 4分】【答案】 6．【2008—3 4分】【答案】 7．【2012—1 4分】【答案】：（B） 8．【2012—2 4分】【答案】：(D) 9.【2012—3 4分】【答案】： 10．【2000—3 3分】【答案】 11．【2004—3 4分】【答案】 12．【2005—3 4分】【答案】 13.【2014—2 4分】【答案】 14．【2006—3 4分】【答案】 15．【2009—3 4分】【答案】 16．【1998—3 5分】【答案】 ;.
17．【1994 -1 3分】【答案】 18．【1998-1 3分】【答案】 19．【2007 -1 4分】【答案】 20．【2009 -1 4分】【答案】 21．【2011-1 4分】【答案】 22．【2007-3 4分】【答案】 23．【2008-2 4分】【答案】 24.【2012—2 4分】【答案】：. 25．【1992-1 5分】【答案】
26．【2000-1 5分】【答案】 27.【2001-1 6分】【答案】 28．【2004-2 10分】【答案】，,
考研数学高数真题分类—多元函数微分学
