新课标高中数学必修二第四章圆与方程-经典例题-[含答案]

例2：已知点P(x0,y0)在圆x2?y2?Dx?Ey?F?0的外部，过P作圆的切线，切点为M，求证

22PM?x0?y0?Dx0?Ey0?F。

证明：如图7-53-1，圆心C(?

DE,?)， 22半径

1D2?E2?4F， 2DECP?(x0?)2?(y0?)2

22CM?PM?CP?CM22由勾股定理得

D2E2D2?E2?4F?(x0?)?(y0?)?22422?x0?y0?Dx0?Ey0?F

yNCMPOx图7-53-1小结：(1)此题的证明，给出了切线长公式，即将圆外一点的坐标代入圆的一般方程左端，再取算术平方根即为切线长。 (2)以

CP为直径的圆与圆C相交于M、N两点，则M、N为切点。若圆C的方程为x2?y2?r2，则两切点连线所在的直线方程为

2x0x?y0y?r2。

例3：从圆外一点P(a,b)向圆x?y2?r2引割线，交该圆于A、B两点，求弦AB的中点轨迹方程。

解：如图7-53-2，设连接OM，OM∵OMAB的中点M(x,y)，

?(x,y)，PM?(x?a,y?b)，

?PM，∴OM?PM?0，

即(x,y)(x?a,y?b)?0 ∴x(x?a)?y(y?b)?0

22∴x?y?ax?by?0，(?r?x?r)

PyAOMxB图7-53-2

小结：此题用向量法求得轨迹方程，显得简明快捷。读者可用一般方法求轨迹方程，即设出割线方程，和圆联立方程组，由韦达定理建立中点坐标的参数方程，继而求得普通方程。还可用两直线垂直的充要条件，但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。

备选例题：

例4：已知对于圆x*

2?(y?1)2?1上任意一点P(x,y)，不等式x?y?m?0恒成立，数m的取值围。