2019年
第7节 离散型随机变量及其分布列
最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.
知 识 梳 理
1.离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列. (2)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1； ③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj. 3.常见离散型随机变量的分布列
(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为
X P 1 0 p q 其中0 (2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含CMCN－M这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝n(0≤m≤l，l为n和M中较小的一 CN个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布. [常用结论与微点提醒] 1.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率. 2.要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误. 3.超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算. mn－m 2019年 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.( ) (2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.( ) (3)如果随机变量X的分布列由下表给出， X P 则它服从两点分布.( ) 2 0.3 5 0.7 (4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.( ) 解析 对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( ) A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球 C.取到白球的个数 D.取到的球的个数 解析 选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2. 答案 C 3.(教材练习改编)设随机变量X的分布列如下： X P 则p为( ) 1A. 6 1B. 3 1 1 122 1 63 1 34 1 65 p 1C. 4 D. 1 12 1111 解析 由分布列的性质，＋＋＋＋p＝1， 1263631 ∴p＝1－＝. 44答案 C 2019年 4.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( ) A.1 220 B.27 55 27C. 220 21D. 55 21 C3C927 解析 {X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝3＝. C12220答案 C 5. (2018·大连双基自测)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则 P(X＝0)＝________. 解析 由已知得X的所有可能取值为0，1， 且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1， 1 得P(X＝0)＝. 31答案 3 考点一 离散型随机变量分布列的性质 【例1】 设离散型随机变量X的分布列为 X P (1)求η＝|X－1|的分布列； (2)求P(1<2X＋1<9). 0 0.2 1 0.1 2 0.1 3 0.3 4 m 解 (1)易知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 由X的分布列可知η＝|X－1|的取值为0，1，2，3， P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1， P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3， P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3， 所以η＝|X－1|的分布列为 η P (2)由1<2X＋1<9，解得0 0 0.1 1 0.3 2 0.3 3 0.3 故P(1<2X＋1<9)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3) 2019年 ＝0.1＋0.1＋0.3＝0.5. 规律方法 分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性. (2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 【训练1】 随机变量X的分布列如下： X P －1 0 1 a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________. 12 解析 因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝ 3311121211 －d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤. 333333332?11?答案 ?－，? 3?33? 考点二 超几何分布的应用(典例迁移) 【例2】 (2017·山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列. 解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M， C85 则P(M)＝5＝. C1018 (2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则 C61 P(X＝0)＝5＝， C1042C6C45 P(X＝1)＝5＝， C1021C6C410 P(X＝2)＝5＝， C1021C6C45 P(X＝3)＝5＝， C1021C6C41 P(X＝4)＝5＝. C1042因此X的分布列为 1423324154 2019年 X P 0 1 421 5 212 10 213 5 214 1 42【迁移探究1】 用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列. 解 由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则 C6C41C6C45 P(X＝1)＝5＝，P(X＝2)＝5＝， C1042C1021C6C410C6C45 P(X＝3)＝5＝，P(X＝4)＝5＝， C1021C1021C61 P(X＝5)＝5＝. C1042因此X的分布列为 532 41 14 23 X P 1 1 422 5 213 10 214 5 215 1 42【迁移探究2】 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布列. 解 由题意知X可取的值为3，1，－1，－3，－5， C4C61C4C65 则P(X＝3)＝5＝，P(X＝1)＝5＝， C1042C1021C4C610C4C65 P(X＝－1)＝5＝，P(X＝－3)＝5＝， C1021C1021C61 P(X＝－5)＝5＝， C1042因此X的分布列为 523 14 41 32 X P 3 1 421 5 21－1 10 21－3 5 21－5 1 42规律方法 超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是： (1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数； (3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 【训练2】 (2018·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问. (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列. 解 (1)设事件A：选派的三人中恰有2人会法语，则
2020版高考数学大一轮复习 第十一章 第7节 离散型随机变量及其分布列学案 理 新人教B版
