专题04函数及其表示
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1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
基础知识融会贯通 1．函数与映射
两个集合函数 设A，B是两个非空数集 映射 设A，B是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 A，B 对应关系 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数y＝f(x)，x∈A f：A→B 名称 函数记法 2.函数的有关概念 映射：f：A→B (1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 【知识拓展】 简单函数定义域的类型
1
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f(x)＝x，则定义域为{x|x≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；
???π
(6)正切函数y＝tan x的定义域为?x?x≠kπ＋，k∈Z
2???
0
??
?. ??
重点难点突破
【题型一】函数的概念 【典型例题】
若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除； 对B满足函数定义，故符合；
对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定； 对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定． 故选：B．
【再练一题】
下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A．
B．y＝arcsin（sinx）和y＝sin（arcsinx）
2
C．y＝x和y＝arccos（cosx）
D．y＝x（x∈{0，1}）和y＝x（x∈{0，1}） 【解答】解：A．y＝log22＝x，函数的定义域为R，y两个函数的定义域不相同，不是同一函数
x2
x，函数的定义域为{x|x＞0}，
B．y＝sin（arcsinx）的定义域为[﹣1，1]，y＝arcsin（sinx）的定义域是R，
两个函数的定义域不相同，不是同一函数．
C．y＝arccos（cosx）的值域是[，]，y＝x的值域是R，不是相同函数．
2
D．y＝x对应的点为（0，0），（1，1），y＝x对应的点为（0，0），（1，1），
两个函数是同一函数， 故选：D．
思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同． 【题型二】函数的定义域问题 命题点1 求函数的定义域 【典型例题】 若函数f（x）A．（﹣1，2] 【解答】解：解
ln（x+1），则函数g（x）＝f（x）+f（﹣x）的定义域为（ ）
B．（﹣1，1） 得，﹣1＜x≤2；
；
C．（﹣2，2）
D．[﹣2，2]
∴要使g（x）有意义，则：解得﹣1＜x＜1；
∴g（x）的定义域为（﹣1，1）． 故选：B．
【再练一题】 已知函数f（x）A．（1，2） C．R
【解答】解：∵数f（x）
的定义域为（1，2），则函数f（x）的定义域是（ ）
B．（1，4） D．（
的定义域为（1，2），
3
2
，﹣1）∪（1，）
∴由1＜x2
＜2，得
x＜﹣1或1＜x．
即函数f（x2
）的定义域是（，﹣1）∪（1，
）．
故选：D．
命题点2 已知函数的定义域求参数范围 【典型例题】 设函数f（x）
．
（1）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝5时，f（x），
由|x﹣1|+|x﹣2|﹣5≥0， 得
或
或
，
解得：x≥4或x≤﹣1，
即函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥4}． （2）由题可知|x﹣1|+|x﹣2|﹣a≥0恒成立， 即a≤|x﹣1|+|x﹣2|恒成立，
而|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）+（2﹣x）|＝1， 所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]． 【再练一题】
函数的定义域为R，则实数k的取值范围是 【解答】解：函数的定义域为R，
∴关于x的不等式2kx2
﹣kx0恒成立，
k＝0时，不等式为0恒成立；
k≠0时，应满足△＝k2﹣4×2k0，
4
．
解得0＜k＜3，
综上，实数k的取值范围是[0，3）． 故答案为：[0，3）．
思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍． (2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a ∴f（x）＝x+1（x≥2）． 故选：B． 【再练一题】 若函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1，则f（x）等于（ ） A．x+1 B．x﹣1 C．2x+1 D．3x+3 222 2）＝x+45，则f（x）的解析式为（ ） B．f（x）＝x+1（x≥2） D．f（x）＝x（x≥2） ； 22 【解答】解：函数f（x）对于任意实数x恒有f（x）﹣2f（﹣x）＝3x﹣1， 令x＝﹣x，则：f（﹣x）﹣2f（x）＝3（﹣x）﹣1． 则： 解方程组得：f（x）＝x+1． 故选：A． 思维升华 函数解析式的求法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得 ， f(x)的解析式； 5
2020年高考数学一轮复习专题04函数及其表示(含解析)
